【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.1 微专题1 基本不等式的应用技巧 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

微专题1　基本不等式的应用技巧 在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握三个条件： (1)“一正”———各项为正数； (2)“二定”———�和”或“积”为定值； (3)“三相等”———等号一定能取到． 类型1　凑项 【例1】　(1)已知a>b>0，则2a＋的最小值为(　　) A．4× B．6 C．3× D．3 (2)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，求a的最大值． (1)B　[∵a>b>0，∴2a＋＝(a＋b)＋＋(a－b)＋． ∵(a＋b)＋≥2＝4，(a－b)＋≥2＝2， ∴2a＋≥6，当且仅当a＋b＝2，a－b＝1，即a＝，b＝时等号成立．故选B．] (2)[解]　a＝＝，当且仅当2a2＝b2＋1，即a＝b＝1时取“＝”，故a的最大值为． 类型2　拆项 【例2】　已知x≥，则有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 D　[法一：∵x≥，∴x－2>0，则＝×2＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立． 法二：令2x－4＝t，∵x≥，∴t≥1，∴x＝＋2． 将其代入，原函数可化为y＝＝＝≥2＝1， 当且仅当＝，即t＝2时，等号成立，此时x＝3．] 类型3　常值的代换 【例3】　(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式≥m恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 (2)设a＋b＝2，b>0，求取最小值时a的值． (1)B　[＝(2a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．所以的最小值为9，又因为≥m恒成立，所以m≤9，即m的最大值为9．] (2)[解]　因为a＋b＝2， 所以＝＝＝＋2＝＋1，当且仅当＝，即b＝－2a＝4，或b＝2a＝时，等号成立． 当a＝时，＋1＝； 当a＝－2时，＋1＝． 所以取得最小值时a的值为－2． 类型4　消元代换 【例4】　(1)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，求a＋2b的最小值； (2)若实数x，y满足xy＋3x＝3，求的最小值． [解]　(1)由2a＋b＝ab－1得a＝1＋>0，解得b>2．所以a＋2b＝5＋＋2≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝2，即b＝2＋时，等号成立．所以a＋2b的最小值是5＋2． (2)因为实数x，y满足xy＋3x＝3， 所以x＝，所以0<<，解得y>3． 则＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8， 当且仅当y－3＝，即y＝4，x＝时，等号成立． 所以的最小值为8． 类型5　取平方 【例5】　已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝的最大值． [解]　∵x，y为正实数，3x＋2y＝10， ∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20， 当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立． ∴W≤2，即W的最大值为2． 3/3微专题1　基本不等式的应用技巧 在运用基本不等式求代数式的最值时，常常会用凑项、拆项、常值的代换、消元代换、取平方等技巧，无论运用哪种方式，必须把握三个条件： (1)“一正”———各项为正数； (2)“二定”———�和”或“积”为定值； (3)“三相等”———等号一定能取到． 类型1　凑项 【例1】　(1)已知a>b>0，则2a＋的最小值为(　　) A．4× B．6 C．3× D．3 (2)已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，求a的最大值． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型2　拆项 【例2】　已知x≥，则有(　　) A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 类型3　常值的代换 【例3】　(1)已知a>0，b>0 ... ...