【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.3 2.3.1 一元二次不等式及其解法 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

2.3　一元二次不等式 2.3.1　一元二次不等式及其解法 学习任务 核心素养 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．(重点) 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点) 3．理解三个“二次”之间的关系．(重点) 1．从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养． 2．在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升数学运算素养． 已知一元二次函数y＝x2－4x，一元二次方程x2－4x＝0，一元二次不等式x2－4x>0． (1)试写出一元二次函数的图象与x轴的交点坐标． (2)一元二次方程的根是什么？ (3)问题(1)中的交点横坐标与问题(2)中的根有何内在联系？ (4)观察二次函数图象，当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？ (5)能否利用问题(4)得出不等式x2－4x>0，x2－4x<0的解集？ 知识点1　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个_____，并且未知数的最高次数是_____的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数 a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可以看作关于a的一元二次不等式吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－y>0；③－x2－3x<0；④>0．其中一元二次不等式的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 知识点2　一元二次不等式与相应一元二次方程和二次函数的联系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集 _____ _____ _____ 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 _____ _____ _____ 一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根，要充分利用这个关系解题． 2．二次函数y＝x2－5x的图象如图所示． (1)若y>0，则x满足的条件是_____； (2)若y≤0，则x满足的条件是_____． 3．不等式x2＋3x＋6<0的解集为_____． 知识点3　解一元二次不等式的步骤 解形如ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)的一元二次不等式，一般可分为三步： (1)确定对应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根； (2)画出对应二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象； (3)由图象得出不等式的解集． 对于二次项系数是负数(即a<0)的一元二次不等式，可先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解． 类型1　一元二次不等式的求解 【例1】　【链接教材P53例2、例3】 解下列不等式． (1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草 ... ...