【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.3 4.3.1 对数的概念 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

4.3　对数函数 4.3.1　对数的概念 学习任务 核心素养 1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质．(重点) 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程．(难点) 1．通过生活实例形成对数的概念，培养数学抽象素养． 2．通过指数式与对数式的互化，对式子进行化简，提升数学运算素养． 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…… 依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？ 如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？ 知识点1　对数的概念 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN．其中a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 对数运算是指数运算的逆运算 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积． (　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3． (　　) (3)对数运算的实质是求幂指数． (　　) (4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　) A．log2M＝a　　　　　　 B．logaM＝2 C．log22＝M D．log2a＝M B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B．] 知识点2　对数的基本性质 (1)对数的基本恒等式： ＝N(N>0，a>0且a≠1)，b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)． (2)负数和零没有对数． (3)loga1＝0(a>0且a≠1)． (4)logaa＝1(a>0且a≠1)． 为什么零和负数没有对数？ [提示]　由对数的定义：ab＝N(a>0且a≠1)知，总有N>0，所以转化为对数式b＝logaN时，不存在N≤0的情况． 3．填空：(1)log22＝_____；(2)log51＝_____；(3)＝_____；＝_____． [答案]　(1)1　(2)0　(3)4　(4)2 类型1　指数式与对数式的互化 【例1】　【链接教材P115例1】 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2-7＝； (2)32＝－5； (3)log5125＝3； (4)＝2． [解]　(1)由2-7＝，可得log2＝－7． (2)由32＝－5，可得＝32． (3)由log5125＝3，可得53＝125． (4)由＝2，可得＝x． 【教材原题·P115例1】 例1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)23＝8； (2)105＝100 000； (3)3x＝7； (4)log2 32＝5； (5)log3＝－3； (6)logxb＝2． [解]　(1)log28＝3； (2)log10100 000＝5； (3)log37＝x； (4)25＝32； (5)3-3＝； (6)x2＝b(x>0且x≠1)． 　指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [跟进训练] 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3-2＝；(2)＝16；(3)＝－3；(4)＝－6． [解]　(1)log3＝－2； (2)＝－2； (3)＝27； (4)()-6＝64． 类型2　利用指数式与对数式的关系求值 【例2】　求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－； (2)logx 8＝6； (3)log4 64＝x； (4)－log28＝x． [解]　(1)x＝＝4-2＝． (2)x6＝8，所以x＝＝． (3)4x＝64＝43，于是x＝3． (4)由－log28＝x，得－x＝log28， ∴2－x＝8＝23，∴－x＝3，即x＝－3． 　求对数式logaN(a>0且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN＝m． (2)将logaN＝m写成指数式am＝N． (3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b． [跟进训练] 2．计算：(1)log9 27；；． [解]　(1)设x＝log9 27，则9x＝27，32x＝33，∴x＝． (2)设x＝，则(＝34，∴x＝16． (3)令x＝，∴()x＝＝54，∴x＝3． 类型3　应用对数的基本性质求值 【例3】　(1)设＝25，则x的值等于(　　) A．10　　　B．13　　　C．100　　　D．±100 (2)若log3(log5x)＝0，则x的值等于_____． 等式＝N(a>0且a≠1，N>0)成立吗？ (1)B ... ...