【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.3 4.3.2 对数的运算法则 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

4.3.2　对数的运算法则 学习任务 核心素养 1．理解对数的运算法则．(重点) 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算法则进行一些简单的化简与证明．(易混点) 1．借助对数的运算法则化简、求值，培养数学运算素养． 2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养． (1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？ (2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？ 知识点1　对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)logaMn＝nlogaM(n∈R)； (3)loga＝logaM－logaN． 当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？ [提示]　不一定． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x． (　　) (2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． (　　) (3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．计算log84＋log82等于(　　) A．log86 B．8 C．6 D．1 D　[log84＋log82＝log88＝1．] 3．计算log510－log52等于(　　) A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 C　[log510－log52＝log55＝1．] 知识点2　常用对数与自然对数 4．(1)lg 100＝_____，(2)ln ＝_____． (1)2　(2)－1　[(1)lg 100＝lg 102＝2； (2)ln ＝ln e-1＝－1．] 知识点3　对数的换底公式 若b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0，则有logbN＝． 几个常用推论： ＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)； logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)； (3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)． 5．(多选题)下列等式正确的有(　　) A．log34＝ B．log34＝ C．log34＝ D．log34＝ [答案]　ABC 类型1　对数的运算法则的应用 【例1】　【链接教材P118例5】 计算下列各式的值： (1)lg lg ＋lg ； (2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋lg22； (3)． [解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－lg 2＋ ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5 ＝(lg 2＋lg 5) ＝lg 10 ＝． (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg22 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋lg210＝2＋1＝3． (3)原式＝ ＝ ＝ ＝． 【教材原题·P118例5】 例5　计算： (1)log535－log5 －log5 14； (2)log1012.5－log10 ＋log10 ． [解]　(1)log535－log5 －log514＝log5＝log5125＝log5 53＝3； (2)log1012.5－log10 ＋log10 ＝log10＝log1010＝1． 　1．利用对数运算法则求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． [跟进训练] 1．求下列各式的值： (1)lg25＋lg 2·lg 50； (2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25． [解]　(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1． (2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg25＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝2＋lg 5＋lg 2＝3． 类型2　对数的换底公式 【例2】　(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)； (2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)． [解]　(1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13． (2)∵18b＝5， ∴b＝log185． 又log189＝a， ∴log3645＝． [母题探究] 在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)． [解]　∵log189＝a， ∴log183＝． 又log185＝b， ∴log915＝． 　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 [跟进训练] 2．求值： (1)log23·log35·log ... ...