【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.5 4.5.2 形形色色的函数模型 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

4.5.2　形形色色的函数模型 学习任务 核心素养 1．会利用已知函数模型解决实际问题．(重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(重点) 通过对本节内容的学习，认识函数模型的作用，提高数学建模、数据分析的素养． 兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧 草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量为对数增长． 知识点　常见函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数模型 y＝ 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． (　　) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． (　　) (3)在不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x 1 2 3 … y 1 3 8 … 则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(　　) A．y＝2x－1　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2 D　[逐一检验可知D选项符合．故选D．] 类型1　利用已知函数模型解决实际问题 【例1】　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？ [解]　先设定半衰期h，由题意知 40－24＝(88－24)×，即＝， 解得h＝10，故原式可化简为 T－24＝(88－24)×， 当T＝32时，代入上式，得 32－24＝(88－24)×， 即＝＝＝， ∴t＝30． 因此，需要30 min，可降温到32 ℃． 　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值． [跟进训练] 1．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12 W/m2，求人听觉的声强级范围； (2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？ [解]　(1)由题知10-12≤I≤1，∴1≤≤1012， ∴0≤lg ≤12， ∴0≤L≤120， 故人听觉的声强级范围是[0，120](单位：dB)． (2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2，由题知L1－L2＝20， 则10lg －10lg ＝20， ∴lg ＝lg 100，∴I1＝100I2． 故该女高音的声强是该男低音声强的100倍． 类型2　自建确定性函数模型解决实际问题 【例2】　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减． (1)求t年后，这种放 ... ...