【学霸笔记：同步精讲】章末综合测评4　幂函数、指数函数和对数函数----2026版高中数学湘教版必修第一册

章末综合测评(四) 1．C　[∵a<， ∴2a－1<0． 于是，原式＝．] 2．B　[要使解析式有意义，则解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1，2)．] 3．B　[对A，y＝的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C中，y＝x-2不过(0，0)点，D中，y＝是奇函数，B中，y＝x4满足条件．] 4．B　[令f (x)＝0，可得，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝和指数函数y＝的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f (x)的零点只有一个． ] 5．C　[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5， ∴a2m+n＝(am)2·an＝32×5＝45．] 6．B　[因为y＝4.2x在R上单调递增， 且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0a>c． 故选B．] 7．B　[因为函数f (x)＝a|x+1|(a>0且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1，又函数f (x)＝a|x+1|(a>0且a≠1)的图象关于直线x＝－1对称，所以f (－4)>f (1)．] 8．B　[由题意知函数f (x)是R上的减函数，于是有由此解得a≤，即实数a的取值范围是，选B．] 9．AD　[易知f (x)的定义域为R，关于原点对称． ∵f (－x)＝＝f (x)， ∴f (x)是偶函数，其图象关于y轴对称．] 10．ABC　[f (x)＝lg(|x－2|＋1)，所以f (x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，故A正确．画出函数的图象，如图所示．所以函数在(－∞，2)上为减函数，在(2，＋∞) 上为增函数，且存在最小值，没有最大值，故ABC正确．故选ABC． ] 11．BC　[∵正实数x，y满足log2x＋lo， ∴log2 x－． 易知f (x)＝log2x－为单调递增函数，故x0，y－x＋1>1，ln(y－x＋1)>0，故C正确；2x-y<20＝1，故D不一定正确，故选BC．] 12．　[因为125x＝12.5y＝1 000，所以x＝log125 1 000，y＝log12.5 1 000，．] 13．80　[由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为20个单位，故有a＋log2＝0，即a＝－1．∴v＝－1＋log2， 要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log2≥2，也就是log2≥3，解得Q≥80，即飞行的速度不低于2 m/s，则其耗氧量至少要80个单位．] 14．(1)2　(2)　[(1)设f (x)＝xα，依题意可得9α＝3， ∴α＝，f (x)＝， ∴m＝f (8)＝． (2)g(x)＝， ∵x∈[16，36]， ∴∈[4，6]， 当01时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4， 由题意得a6＝2a4，解得a＝． 综上，所求实数a的值为．] 15．解：(1)－(－9.6)0－＋(1.5)-2 ＝ ＝． (2)log25·log45－lo． 16．解：(1)函数f (x)在区间[0，＋∞)上是增函数， 设x1，x2是区间[0，＋∞)上任意两个实数，且x10， ∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点， ∵g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19<0，g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13>0， ∴函数的零点在(1.5，1.75)， ∵1.75－1.5＝0.25<0.3， ∴g(x)零点的近似值为1.5． (函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以) 17．解：(1)由已知得 得解得a＝4，b＝2． (2)由(1)知f (x)＝log2(4x－2x)， 令f (x)＝0得4x－2x＝1， 即(2x)2－2x－1＝0，解得2x＝， 又2x>0， ∴2x＝，解得x＝log2． (3)由(1)知g(x)＝4x－2x，令2x＝t， 则y＝t2－t＝，t∈[1，16]， 所以g(x)∈[0，240]． 18．解：(1)由题意，得 y＝ (2)∵当x∈(0，15]时，0.1x≤1.5， 又y＝5.5>1.5， ∴x>15， ∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39． 即老张的 ... ...