2.2 充分条件、必要条件、充要条件 学案 2025-2026学年高一数学苏教版（2029）必修第一册

2．2　充分条件、必要条件、充要条件 2.2.1　充分条件、必要条件、充要条件(1) 1. 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 2. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 3. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 活动一 符号“ ”与“ ”的含义 前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题为真命题，有的命题为假命题． 思考1 若x＝y，能推出x2＝y2吗？若x＞1，能推出x2＞1吗？ 思考2 若x2＝y2，能推出x＝y吗？若x2＞1，能推出x＞1吗？ 一般地，当命题“若p，则q”为真命题时，我们就说“由p可以推出q成立”，记作“p q”，读作“p推出q”；如果命题“若p，则q”为假命题，就说“由p不能推出q成立”，记作“p q”，读作“p不能推出q”． 活动二　理解充分条件、必要条件的概念　 思考3 如果“p q”，那么p，q之间有怎样的关系？ 充分条件与必要条件： 如果“p q”，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件． 例1　下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ (1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2) p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； (3) p：同位角相等，q：两条直线平行； (4) p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 下列各组命题中，p是q的充分条件吗？ (1) p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2) p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形； (3) p：x＞1，q：x＞3. 例2　下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ (1) p：|x|＝1，q：x＝1； (2) p：两个直角三角形全等，q：两个直角三角形的斜边相等； (3) p：同位角相等，q：两条直线平行； (4) p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 下列各组命题中，p是q的必要条件吗？ (1) p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2) p：△ABC中有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形； (3) p：x＞1，q：x＞3. 思考4 什么情形下称p是q的充分且必要条件？即称p是q的充要条件． 思考5 什么情形下称p是q的充分且不必要条件，必要且不充分条件，既不充分又不必要条件？ 如果p是q的充要条件，就记作p q，称为“p与q等价”或“p等价于q”． “ ”和“ ”都具有传递性，即如果p q，q s，那么p s；如果p q，q s，那么p s. 活动三　掌握充分条件、必要条件的判断　 例3　指出下列命题中，p是q的什么条件： (1) p：两个三角形全等，q：两个三角形的对应角相等； (2) p：三角形的三边相等，q：三角形是等边三角形； (3) p：a2＝b2，q：a＝b； (4) p：x＞y，q：x2＞y2. 由上述定义可以看出，要证明p是q的充分条件，只要证明“p q”为真命题． 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p q p q 条件关系 p是q的充分条件，q是p的必要条件 p不是q的充分条件，q不是p的必要条件 性质定理是指某类对象具有的具体特征．例如，性质定理“平行四边形的对角线互相平分”表明：“平行四边形”具有“对角线互相平分”的特征，当然还有其他的特征，如“对角相等”“对边相等”“对边平行”等． 性质定理具有“必要性”，“对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件．下图中条件2，3，4…都是“四边形是平行四边形”的必要条件． 判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征．例如，判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有“平行四边形”的所有特征1，2，3，4，…. 判定定理具有“充分性”，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充分条件．下图中条件2，3，4…都是“四边形是 ... ...