1.3 空间向量及其运算的坐标表示 【知识点1】空间向量的坐标运算 1 【知识点2】模长 3 【知识点3】共线与共面问题 5 【知识点4】向量垂直 8 【知识点5】向量的夹角 10 【跟踪训练】 14 1.会建立空间直角坐标系(重点)。 2.掌握空间向量的应用(重难点)。 3.掌握空间向量的坐标运算(重点)。 【知识点1】空间向量的坐标运算 1．求空间向量的坐标 (1)设i、j、k为两两垂直的单位向量． (2)如果，则叫做向量的坐标． 2．空间向量的坐标运算 (1)向量和：a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)． (2)向量差：a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)． (3)数量积：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． (4)共线：a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)． (5)垂直：a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． (6)夹角：cos〈a,b〉＝ 例1： 【例1】（2024秋 安康期末）已知空间向量，则（ ） A．（5，9，1） B．（﹣3，6，5） C．（﹣2，﹣9，5） D．（2，﹣9，﹣5） 【例2】（2024秋 杭州校级期末）空间一点P在xOy平面上的射影为M（2，4，0），在xOz平面上的射影为N（2，0，7），则P在yOz平面上的射影Q的坐标为（ ） A．（2，4，7） B．（0，0，7） C．（0，4，7） D．（0，2，7） 【例3】（多选）（2025 景洪市校级开学）已知向量，，若，则x的值为（ ） A．4 B．3 C．0 D．﹣1 【例4】（2025春 张掖校级期中）已知向量，，则 ． 【知识点2】模长 求向量的模 (1) |a|＝． (2)若a＝(x，y，z)，则|a|＝． 例1： 【例5】（2024秋 福建期末）已知点B（﹣2，1，1）关于z轴的对称点为A，则等于（ ） A． B． C．2 D．2 【例6】（多选）（2024秋 深圳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列结论正确的有（ ） A． B． C．若，且，则t＝3 D．若且，则k＝2 【例7】（2025春 河南月考）已知m∈R，向量，若，则 ． 【例8】（2024秋 郑州月考）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）． （1）求AB； （2）求△ABC的面积． 【知识点3】共线与共面问题 1．向量共线 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)． 2．向量共面 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 【例9】（2024秋 焦作期末）已知向量，，且，则x+y＝（ ） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【例10】（2024春 西青区校级期末）已知空间向量（1，﹣1．﹣2），（0，1，x），（2，0，0），若，，共面，则实数x等于（ ） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．2或0 【例11】（多选）（2024秋 思明区校级期中）已知空间向量，，，则（ ） A． B． C． D．是共面向量 【例12】（2024秋 湛江期末）已知是空间的一组基底，其中，，．若A，B，C，D四点共面，则λ＝ ． 【知识点4】向量垂直 空间向量垂直 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 例1： 【例13】（2025春 启东市校级月考）已知向量（2，﹣1，3），（﹣4，x，1），且，则x＝（ ） A．5 B．11 C．﹣5 D．﹣11 【例14】（多选）（2024秋 三明期末）设x，y∈R，向量，，，且，，则下列正确的（ ） A．x＝2 B．y＝4 C．6 D． 【例15】（2024秋 济南期末）已知空间向量（a，3，﹣1），（4，1，﹣3），若⊥（），则实数a的值为 ． 【例16】（2024秋 朝阳区校级期中）已知向量． （1）若向量与垂直，求实数k的值； （2）若向量和是共面向量，求实数x的值． 【知识点5】向量的夹角 1．空间向量的夹角 cos〈a，b〉＝． 2．向量法求异面直线所成角的步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)用坐标表示两异面直线的方向向量． (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值． (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余 ... ...
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