1.4 充分条件与必要条件 【题型1】命题的概念 3 【题型2】充分条件与必要条件 7 【题型3】充分条件与必要条件的应用 9 【题型4】条件关系的判断 11 【题型5】充要条件的证明 14 1.(1)一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句是真命题;判断为假的语句是假命题. 2.“若p,则q”形式的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论. 3.充分条件与必要条件 命题 真假“若p,则q”为真命题“若p,则q”为假命题推出 关系p qp q条件 关系p是q的充分条件, q是p的必要条件p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 4.充要条件 命题真假“若p,则q”为真命题;“若q,则p”为真命题推出关系p q条件关系p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件 1.(1)若p q,则p是q的充分条件.要使结论q成立,条件p是足够的,是足以保证的. q是p的必要条件,说明q是p成立的必不可少的,缺其不可的条件. (2)数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. (3)数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 2.对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. (2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件. 3.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系结论p q,且q pp是q的充分不必要条件q p,且p qp是q的必要不充分条件p q,且q p,即p qp是q的充要条件p q,且q pp是q的既不充分也不必要条件 【题型1】命题的概念 判断下列命题的真假，并说明理由： （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分而不必要条件； （4）“”是“”的充要条件； （5）“”是“”的充要条件； （6）“”的充要条件是“”． 【答案】（1）假命题，理由见解答． （2）假命题，理由见解答． （3）真命题，理由见解答． （4）真命题，理由见解答． （5）假命题，理由见解答． （6）假命题，理由见解答． 【分析】（1）根据不等式的性质及充分条件的定义即可得出结论； （2）根据必要条件的定义即可得出结论； （3）根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论； （4）根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义即可得出结论； （5）根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论； （6）根据元素与集合的关系及交集的概念结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论． 【解答】解（1）若，当时，，所以“”是“ “的不充分条件，所以命题为假命题； （2）若，则不成立，所以“”不是“”的必要条件，所以命题为假命题； （3）若四边形为正方形，则该四边形为矩形，若四边形为矩形，则该四边形不一定为正方形， 所以“四边形为正方形”是“四边形为矩形”的充分而不必要条件，故命题为真命题； （4）若，则，若，则，是“”的充要条件，所以命题为真命题； （5）若，则，若，则或2，所以“”是“”的充分不必要条件，所以命题为假命题； （6）若，则，若，并不一定属于，所以是的必要不充分条件，所以命题为假命题． 方法点拨 要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可. 【变式1】判断下列命题的真假： （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充分条件； （4）“”是“”的充要条件． 【答案】（1）真命题； （2）真命题； （3）假命题； （4）真命题． 【分析】根据集合的包含关系，结合图加以说明，得到（1）（2）的正误；根据不等式的基本性质，对两个条件进行正反论证，得到（3）（4）的正误． 【解答】解：（1）若，说明属于的 ... ...
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