4.1.1 根式 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

4.1.1　根　　式 1. 理解n次方根的概念及其性质. 2. 理解根式的概念及其性质. 活动一 n次方根 我们在初中学方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根，…，n次方根呢？答案是肯定的，这就是本节我们要研究的问题：指数与指数幂的运算． 思考1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，如果分裂一次需要 10 min，那么1个细胞1 h后分裂成多少个细胞？ 思考2 正整数指数幂的意义是什么？ 思考3 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个？立方根呢？ 思考4 类比a的平方根及立方根的定义，如何定义a的 n次方根？ 思考5 类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？ 活动二　根式　 思考6 什么是根式？ 思考7 根式中的被开方数的范围是怎样的？ 例1　求下列各式的值： (1) ()2； (2) ()3； (3) ； (4) . 思考8 观察下列各式： ＝2，＝2＝|－2|； ＝2，＝2＝|－2|； ＝2，＝2＝|－2|； ＝3，＝－3； ＝3，＝－3； …… 你能发现什么？ 求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) (a≤3). 活动三 利用根式的性质化简或求值 例2　化简：()2＋＋＝_____． 在根式运算中，经常会遇到开方与乘方并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对当且仅当a≥0时，恒有＝()n，若a<0，则不一定． 已知x＝，y＝，求－的值． 活动四 有限制条件的根式的化简 例3　设－31，且n∈N*)，那么称x为a的n次方根． 思考5：当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，此时a的n次方根只有一个，记为x＝； 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－表示，它们可以合并写成±(a>0)的形式； 0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数). 思考6：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 思考7：在根式中，当n为奇数时，a∈R； 当n为偶数时，a≥0. 例1　(1) ()2＝5. (2) ()3＝－2. (3) ＝＝2. (4) ＝＝π－3. 思考8：对于n∈N*，n＞1， 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 跟踪训练　(1) ＝|－10|＝10. (2) ＝|－2|＝2－. (3) ＝a－3. 例2　a－1　由题意知a－1≥0，即a≥1，原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 跟踪训练　－＝－＝. 将x＝，y＝代入上式，得原式＝＝＝－8.　 例3　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|. 因为－3