5.3 函数的单调性 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

5．3　函数的单调性 5.3.1　函数的单调性(1) 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义． 2. 掌握增(减)函数的证明和判断，学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 3. 能利用函数图象划分函数的单调区间. 活动一 探究增函数、减函数、单调性、单调区间的概念 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．在日常生活中，我们有过这样的体验：在阶梯教室从前向后走，逐步上升；从后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质———函数的单调性． 思考1 如图，气温θ是关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个气温变化图，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的，在哪些时间段内是逐渐下降的？ 思考2 怎样用数学语言刻画上述某一时间段内“随时间的增加气温逐渐升高”这一特征？ 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)， 那么称y＝f(x)在区间I上单调递减，I称为y＝f(x)的减区间． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称f(x)是减函数． 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性．增区间与减区间统称为单调区间． 活动二 探究函数单调区间的求法 例1　画出下列函数的图象，并写出单调区间： (1) y＝－x2＋2； (2) y＝(x≠0). 画出函数y＝|－x2＋2|的图象，并写出单调区间． 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，一般不能用“∪”；在单调区间D上的函数要么单调递增，要么单调递减，不能二者兼有． 活动三　探究函数单调性的证明方法　 例2　求证：函数f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上单调递增． 思考3 记y2－y1＝Δy，x2－x1＝Δx，那么函数的单调性与的符号有什么关系？ 试讨论函数f(x)＝的单调性． 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间D上任意取x1，x2，且在x1f(x2)结合单调性，转化为x1与x2的大小关系． (2) 利用函数的特征：例如，二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数的取值范围． 活动五　抽象函数的单调性的证明　 例5　已知函数f(x)对任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数． 若f(x)的定义域为(0，＋∞)，当00，满足f＝f(x)－f(y). (1) 求证：函数f(x)是增函数； (2) 若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2. 因 ... ...