5.4 函数的奇偶性 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

5．4　函数的奇偶性 5．4.1　函数的奇偶性(1) 1. 结合具体函数，理解奇偶性的含义和几何意义. 2. 会判断函数的奇偶性，能证明一些简单函数的奇偶性． 活动一 探究偶函数和奇函数的概念 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，建筑物和它在水中的倒影……这种“对称美”在数学中也有很多．今天，让我们开启知识的大门，进入更加精彩纷呈的函数奇偶性的学习． 思考1 作出函数y＝x2，y＝x2＋1的图象，思考并讨论以下问题： (1) 从对称性的角度你发现这两个函数图象有什么共同的特征？ (2) 如何用数量关系来表述上述特征？ 思考2 作出函数f(x)＝x和f(x)＝的图象，思考并讨论以下问题： (1) 从对称性的角度你发现这两个函数图象有什么共同的特征？ (2) 如何用数量关系来表述上述特征？ 1. 偶函数和奇函数的定义： 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有－x ∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有－x ∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数． 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们称函数f(x)具有奇偶性． 2. 偶函数和奇函数图象的特点： 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． 活动二 探究偶函数和奇函数定义域的特征 思考3 对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？ (1) 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； (2) 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数； (3) 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； (4) 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x) 不是奇函数． 奇函数与偶函数的定义域的特征：定义域关于原点对称． 活动三 探究判断函数的奇偶性的方法 例1　判断下列各函数的奇偶性： (1) f(x)＝x4－1； (2) f(x)＝2x； (3) f(x)＝2|x|； (4) f(x)＝(x－1)2. 例2　判断函数f(x)＝x3＋5x是否具有奇偶性． 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝； (2) f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3) f(x)＝； (4) f(x)＝0. 1. 对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数． 2. 用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，判断是否关于原点对称；②再判断f(x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立． 活动四 探究函数奇偶性的简单应用 例3　(1) 若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝_____； (2) 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1，2a]，求函数f(x)的值域． 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝_____． 1. 函数f(x)＝＋(　　) A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 2. (2024吉林田家炳高级中学月考)若f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在R上的奇函数，则实数a的值为(　　) A. 1 B. 2 C. 0 D. －2 3. (多选)下列函数中，图象关于y轴对称的有(　　) A. f(x)＝x＋ B. f(x)＝ C. f(x)＝ D. f(x)＝x－ 4. (2025汕尾期末)若函数f(x)＝(x－a)(x＋2)为偶函数，则实数a的值为_____． 5. 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝3，x∈R； (2) f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3，3]； (3) f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|. 5．4.2　函数的奇偶性(2) 1. 能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质． 2. 应用函数的性质解决简单的问题. 3. 体会数形结合、转化与化归等数学思想方法的应用. 活动一 巩固函数奇偶性的概念，判断复杂函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝； (2) f(x)＝ 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝(x－2)； (2) f(x)＝ 活动二 利用函数奇偶性求函数解析式及单调区间 例2　已知奇函数f(x)＝ (1) 求实数m的值，并在平面直角坐标系中画出y＝f(x)的图象； (2) 若函数f(x) ... ...