第6章　幂函数、指数函数和对数函数 本章复习 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

第6章　幂函数、指数函数和对数函数 本 章 复 习 1. 了解幂函数的概念，理解指数函数、对数函数的概念． 2. 会用函数图象和代数运算的方法研究幂函数、指数函数与对数函数的性质，并能综合运用其解决简单的问题. 3. 理解这些函数中蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题；体会这些函数在解决实际问题中的作用． 活动一 构建知识网络 活动二 数的大小比较 数的大小比较常用方法： (1) 比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法． (2) 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较． (3) 比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”“大于等于0且小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小． 例1　已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. b＜a＜c D. b＜c＜a 已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A. c＜a＜b B. a＜b＜c C. b＜c＜a D. b＜a＜c 活动三 复合函数的单调性 1. 一般地，对于复合函数y＝f(g(x))，如果t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，并且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者区间(g(b)，g(a))上是单调函数，那么y＝f(g(x))在区间(a，b)上也是单调函数． 2. 对于函数y＝f(t)，t＝g(x). 若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域． 例2　已知函数f(x)＝. (1) 若a＝－1，求函数f(x)的单调区间； (2) 若函数f(x)有最大值3，求a的值． 已知函数f(x)满足f(x)＋log2x＝log2(ax＋1). (1) 当a＝1时，解不等式f(x)＞1； (2) 若关于x的方程f(x)＝2 x的解集中有且只有一个元素，求a的取值范围； (3) 设a＞0，若 t∈，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 活动四 指数函数、对数函数和幂函数的综合应用 指数函数与对数函数性质的对比： 指数函数与对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系． (1) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．当a变化时，函数的图象和性质也随之变化． (2) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1，0). (3) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)具有相同的单调性． (4) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)互为反函数，两个函数的图象关于直线y＝x对称． 例3　(1) 若函数f(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝_____； (2) 若函数f(x)＝log2在区间(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是_____． (2025临沂期末)已知函数f(x)＝log2(3＋x)＋log2(a－x)(a>0)为偶函数． (1) 求实数a的值； (2) 若f(m－1)b>c B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a 3. (多选)(2024济南一中月考)已知函数f(x)＝a－2x2＋x－1(0