7.1.1 任意角 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

7.1.1　任　意　角 1. 理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角，掌握正角、负角、零角的定义． 2. 能在0°到360°范围内，找到一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角． 3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合，能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合． 活动一 了解任意角的概念及象限角 我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角．利用这些角，我们已能表示圆周上某些点．但要表示圆周上周而复始地运动着的点，仅有这些角是不够的．如摩天轮在空中旋转了两周半，跳水运动员转体两周半，体操运动员向前转体三周，向后转体两周等．如何用角来表示？ 思考1 初中是如何定义角的？ 思考2 旋转两周半是转了怎样的一个角？ 思考3 为了表示不同旋转方向所形成的角，应如何规定呢？ 角的概念推广到了任意角，确定角的关键是旋转方向和旋转量的大小． 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转所形成的角 负角 按顺时针方向旋转所形成的角 零角 射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角 思考4 (1) 如何定义两角的和、互为相反角、两角的差？ (2) 如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴的正半轴，那么角的终边的位置在坐标系中有几种情况？ 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． 象限角：终边在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角． 思考5 －300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°角分别是第几象限角？其中哪些角的终边相同？ 思考6 具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？ 思考7 如何判断两个角的终边是否相同？ 1. 在平面直角坐标系内讨论角时，相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍． 2. 任何一个与角α终边相同的角，都可以写成角α与整数个周角的和的形式． 活动二 终边相同的角的表示及象限角的判断 例1　在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限的角． (1) 650°；　(2) －150°；　(3) －990°15′. 在0°到360°的范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出它们是第几象限角． (1) 430°；　　 (2) 909°； (3) －60°； (4) －1 550°. 例2　写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在－360°到720°间的角写出来． (1) 35°；　(2) －21°；　(3) 363°14′. 已知角α＝2 010°. (1) 把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2) 求角θ，使角θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. 1. 将任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k的值．可以用观察法(α的绝对值较小)也可用除法． 2. 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 活动三 象限角的表示及其应用　　 例3　(1) 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴的负半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴上的角的集合怎样表示？ (2) 终边落在y轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在y轴的负半轴上的角的集合怎样表示？终边落在y轴上的角的集合怎样表示？ (3) 终边落在坐标轴上的角的集合怎样表示？ 如图所示： (1) 写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； (2) 写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 探究　若α是第三象限角，则2α，分别是第几象限角？ 由角α所在的象限确定nα，(n∈N*)的终边所在的象限的解题步骤： (1) 由α所在象限先写出α的范围； (2) 由α的范围写出nα， ... ...