8.1.2　用二分法求方程的近似解 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

8．1.2　用二分法求方程的近似解 1. 探索二分法求方程近似解的思路并会画程序框图． 2. 能借助计算器用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 活动一 二分法的概念 对于方程lg x＝3－x，要求出这个方程的解是比较困难的，我们能否求出这个方程的近似解呢？让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究．例如，求方程x2－2x－1＝0的实数解就是求函数f(x)＝x2－2x－1的零点． 思考1 我们已经知道函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上存在零点，那么方程x2－2x－1＝0在区间(2，3)上的实数解唯一吗？ 思考2 如何缩小零点所在区间(2，3)的范围？ 思考3 区间分成两段后，又怎样确定零点在哪一个小的区间内呢？ 思考4 假设f(2.5)＝0说明什么？ 思考5 如何进一步地缩小零点所在的区间？ 思考6 若给定精确度0.1，如何选取近似值？ 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近函数f(x)的零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法． 运用二分法的前提是要先判断零点所在的区间． 活动二　用二分法求函数零点近似值的步骤　 思考7 下列图象中的函数，能否用二分法求函数零点的近似值？为什么？ 　　 用二分法求方程近似解的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤： (1) 确定零点x0所在的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. (2) 求区间(a，b)的中点c＝. (3) 计算f(c)并进一步确定零点x0所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4) 判断是否达到精确度ε：若|b－a|<ε，则得到零点的近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4). 由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解． 活动三　用二分法求方程的近似解　 思考8 如何把求方程的近似解化归为求函数的零点？ 例1　利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解(精确度为0.1). 用二分法求方程的近似解，即求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算. 借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1). 例2　利用计算器，求方程sin x＝1－x的近似解(精确度为0.1). 思考9 用二分法求方程的一个近似解的操作流程是怎样的？ “二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号时才能应用“二分法”求函数的零点． 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点近似值，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 2)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 根据表中的数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01). 1. (2024利川一中期末)下列方程中，不能用二分法求近似解的为(　　) A. log2x＋x＝0 B. ex＋x＝0 C. x2－2x＋1＝0 D. ＋ln x＝0 2. (2024上海大同中学月考)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)上的实数解，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是(　　) A. (2，2.5) B. (2，2.25) C. (2，2.125) D. (2.062 5，2.125) 3. (多选)(2024武汉六中月考)某同学利用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示，则函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的近似值(精确度为0.1)可取为(　　) f(2)≈－1.307 f(2.5)≈－0.084 f(2.562 5)≈0.066 f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099 A. 2.49 B. 2.52 C. 2.55 D. 2.58 4. (2025徐汇期末)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，3)上的零点的 ... ...