8.2.1 几个函数模型的比较 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

8.2.1　几个函数模型的比较 1. 掌握常见增函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢． 2. 理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比较三种函数模型的性质． 3. 会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题． 活动一 理解指数函数模型的“变化趋势” 我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等，它们在实际生活中有着广泛的应用．不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋势”也不同．通过对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深对自然现象的理解. 例1　(1) 用计算器或计算机计算下列各值：1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994.猜测一下，1.01365大概是多少？0.99365大概是多少？ (2) 用计算器或计算机计算下列各值：1.12，1.13，1.14，0.92，0.93，0.94.猜测一下，1.1100大概是多少？1.1260大概是多少？0.9100大概是多少？0.91 000大概是多少？ (3) 用计算器或计算机计算一下(1)(2)中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解． 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 30 y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505 y2 5 94.478 1 785.2 33 733 6.37×105 1.2×107 2.28×108 y3 5 30 55 80 105 130 155 y4 5 2.310 7 1.429 5 1.140 7 1.046 1 1.015 1 1.005 关于x呈指数型函数变化的变量是_____． 活动二 函数模型的增长差异　　 例2　(1) 在同一个直角坐标系中画出下列4个函数在区间(0，＋∞)上的图象： y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝log2x.结合这4个函数的图象，比较它们随着x的增大函数值增长的快慢，并指出：当x的值足够大(x＞16)的时候，这4个函数的值的大小关系； (2) 先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想． ①y＝1.01x与 y＝x10；②y＝x0.1与 y＝lg x. (3) 借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在(2)中的猜想． ①y＝2x与 y＝x100；②y＝x0.25与 y＝log2x. 三种函数的增长速度比较： (1) 在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上． (2) 在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢． (3) 存在一个x0，使得当x>x0时，有logaxy2>y3 B. y2>y1>y3 C. y1>y3>y2 D. y2>y3>y1 3. (多选)(2024南京六校 ... ...