8.2.2 函数的实际应用 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

8．2.2　函数的实际应用 1. 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情景中，会选择合适的函数模型来刻画现实问题的变化规律． 2. 结合现实情景中的具体问题，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． 3. 培养应用数学方法分析问题、探索问题、解决问题的能力． 活动一 一次函数模型的应用 我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等，它们在实际生活中有着广泛的应用. 今天我们尝试一下，怎样从实际问题入手，运用已学过的函数知识来解决实际问题. 例1　某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3 000元，每台计算机的售价为5 000元．分别写出总成本C(单位：万元)、单位成本P(单位：万元)、销售收入R(单位：万元)以及利润L(单位：万元)关于总产量x(单位：台)的函数关系式． 信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． 某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用228元．其中，纯净水的销售价x(单位：元/桶)与年购买总量y(单位：桶)之间满足如图所示的关系． (1) 求y关于x的函数关系式； (2) 当a＝120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由； (3) 当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？ 活动二 指数型函数模型的应用 例2　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Tα＝(T0－Tα)·，其中Tα表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间(结果精确到0.1) 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解．本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要借助计算器进行计算． 某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题： (1) 写出该城市人口数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系； (2) 计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3) 计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年) 活动三 二次函数模型的应用 例3　在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差． (1) 求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； (2) 利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？ 利用二次函数求最值的方法及注意点： (1) 一般方法：根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2) 注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(单位：万件)与月份x的近似关系为f(x)＝x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12). (1) 写出明年第x个月 ... ...