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课件网) 8.2 一元线性回归模型及其应用 第2课时 非线性回归模型 探究点一 用拟合效果分析非线性回归问题 探究点二 非线性回归模型的应用 探究点一 用拟合效果分析非线性回归问题 例1（1） 在求解两个变量与 的回归模型中，分别给出了4个不同 模型，它们的决定系数 如下表，其中拟合效果最好的是( ) 模型1 模型2 模型3 模型4 0.25 0.50 0.98 0.80 A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4 [解析] 决定系数越大，模型的拟合效果越好， 模型3的拟合效 果最好.故选C. √ （2）变量和 的散点图如图所示，则下列说 法中正确的是_____（填序号）. ①② ①与 负相关； ②在该相关关系中，若用 拟合时的 ③, 之间不能建立经验回归方程. 决定系数为，用拟合时的决定系数为，则 ； [解析] 散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，则这两个 变量负相关，故①正确； 由散点图知，用 拟合的效果比 用拟合的效果更好，所以 ，故②正确； , 之间能建立经验回归方程，只不过拟合效果不好，故③不正确. 故填①②. ［素养小结］ （1）两个变量与的回归模型中，决定系数 越大，拟合效果越好. （2）根据散点图可以判断两个变量之间的相关性，根据样本点的分 布选取合适的函数模型. 探究点二 非线性回归模型的应用 例2 [2024·华南师大附中高二期中] 某地政府为提高当地农民收入， 鼓励农民种植药材.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 1 2 3 4 5 59 61 64 68 73 （1）根据表中数据，决定使用模型拟合与 之间的关 系，求此模型的经验回归方程.（结果保留一位小数） 参考数据及公式：在经验回归方程 中， ，.设 ，则 ， . 解：根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得， ， ， 由 ，可得 ，则 ， ， 所以此模型的经验回归方程为 . （2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果，在 本题中，若残差的平方和小于 ，则认为拟合效果符合要求.请判断 （1）中经验回归方程的拟合效果是否符合要求？并说明理由. 解：分别将，2，3，4，5代入 ，可得估计值为 59，，，68， ，则残差的平方和为 因为，所以经验回归方程 的拟合效果符 合要求. 变式 为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决 定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量 （单位：亿元）与研发人员增量 的10组数据.现用模型 ， 分别进行拟合，由此得到相应的经验 回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中, . 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 （1）根据残差图，判断应选择哪个模型.（无需说明理由） 解：选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀地落 在水平的带状区域中，且带状区 域的宽度比模型①的带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，经 验回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适. （2）根据（1）中所选模型，求出关于 的经验回归方程，并用该 模型估计，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为多少人？ （结果保留整数） 解：根据模型②，令,与 可用线性回归模型来拟合，且 ， 由题表中数据可得 ， ， 则关于的经验回归方程为 ， 所以关于的经验回归方程为 . 由，解得 ，所以估计要使年收益增 量超过8亿元，研发人员增量至少为10人. ［素养小结］ 解决非线性回归问题的方法及步骤 （1）确定变量：确定解释变量为，响应变量为 ； （2）画散点图：通过观察散点图并与学过的函数（幂函数、指数函 数、对数函数、二次函数）图象作比较，选取拟合效果好的函数模型； （3）变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题； （4）分析拟合效果： ... ...
