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课件网) 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 探究点一 求离散型随机变量的方差 探究点二 离散型随机变量的方差的性质 及应用 探究点三 均值、方差的实际应用 【学习目标】 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法. 知识点一 离散型随机变量的方差 1.设离散型随机变量 的分布列为 … … 则称为随机变量 的方差，有时也记为 ，其算术平方根为随机变量的_____，记为 . 标准差 2.随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离 程度，反映了随机变量取值的_____.方差或标准差越小，随机变 量的取值越_____；方差或标准差越大，随机变量的取值越_____. 离散程度 集中 分散 3.方差也可以用公式 计算. 4.两点分布的方差 若服从两点分布，则_____（其中 为成功概率）. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( ) × （2）离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离期望的平均程度. ( ) √ （3）离散型随机变量的方差反映了 取值的波动水平.( ) √ 知识点二 方差的性质 _____，___（ 是常数）. 0 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）如果是离散型随机变量,且,那么 , .( ) √ （2）若是常数,则 .( ) √ （3）若随机变量的方差，则 .( ) × 探究点一 求离散型随机变量的方差 例1 [2024·山东济宁高二期中] 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮 者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮.第一次由甲投篮，已知每 次投篮甲、乙命中的概率分别为, .在前3次投篮中，乙投篮的次数 记为，求随机变量 的分布列、数学期望和方差. 解：依题意， 的可能取值为0，1，2，, , ， 所以 的分布列为 0 1 2 ， . 变式 有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地 抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为，求 的均值和方差. 解：的可能取值为6,9, 表示取出的3张卡片上均标有2，则 . 表示取出的3张卡片上有2张标有2，1张标有5， 则 . 表示取出的3张卡片上有1张标有2，2张标有5，则 . 6 9 12 ， . 的分布列为 ［素养小结］ 求离散型随机变量 的方差的步骤： （1）理解 的意义，明确其可能的取值. （2）判定 是否服从特殊分布（如两点分布等），若服从特殊分布， 则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. （3）求 取每个值的概率. （4）写出 的分布列，并利用分布列性质检验. （5）求出，根据方差定义求 . 探究点二 离散型随机变量的方差的性质及应用 例2 （多选题）已知随机变量的分布列为， ， 2，3，4，5．若 ，则下列说法正确的是( ) A.随机变量的均值为3 B.随机变量 的均值为3 C.随机变量的方差为2 D.随机变量 的方差为9 √ √ √ [解析] 由题可知，,, , , ，故 ，A正确； ，B正确； ,C正确； ，D错误.故选 . 变式 已知 的分布列为 0 1 （1）求，， ； 解： . . . （2）设，求， . 解：,， . ［素养小结］ 方差性质应用的关注点： （1）公式： . （2）优势：既避免了求随机变量 的分布列，又避免了涉 及大数的计算，从而简化了计算过程. 探究点三 均值、方差的实际应用 ［探索］ （1）离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的 什么性质？ 解：离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离均值 的平均程度. （2）离散型随机变量的方差越大随机变量越稳定还是方差越小越稳定？ 解：离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定. 例3 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知 甲、乙两名射手在一次 ... ...
