§4 一元二次函数与一元二次不等式 4.1 一元二次函数 【课前预习】 知识点一 2 0 诊断分析 解:一元二次函数的解析式有以下三种形式. 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0); 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 任意一个一元二次函数的解析式都有一般式和顶点式,但不一定有交点式. 知识点二 2.|h| |k| 知识点三 向上 向下 x=- 减小 增大 增大 减小 诊断分析 1.-1 [解析] 因为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈[1,4],所以当x=2时,函数取得最小值-1. 2.解:若b2-4ac>0,则函数图象与x轴有两个交点;若b2-4ac=0,则函数图象与x轴有一个交点;若b2-4ac<0,则函数图象与x轴没有交点. 【课中探究】 探究点一 例1 解:方法一:利用一元二次函数的一般式. 根据题意可设y=ax2+bx+c(a≠0), 由题意得可得 故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7. 方法二:利用一元二次函数的交点式. 根据题意可设y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即y=ax2-ax-2a-1(a≠0). ∵函数有最大值8,∴=8,可得a=-4. 故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7. 方法三:利用一元二次函数的顶点式. 根据题意可设y=a(x+m)2+n(a≠0). ∵函数图象经过点(2,-1),(-1,-1),∴函数图象的对称轴为直线x==,∴m=-, 又函数的最大值为8,∴n=8,∴y=a+8. 把点(2,-1)的坐标代入,得a+8=-1,可得a=-4,∴y=-4+8=-4x2+4x+7. 故所求一元二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7. 变式 解:由题可得解得 所以该一元二次函数的解析式为y=x2-2x. 探究点二 例2 (1)D (2)B [解析] (1)由A中的图象知,a<0,c<0,-<0,所以b<0,与abc>0矛盾;由B中的图象知,a<0,c>0,->0,所以b>0,与abc>0矛盾;由C中的图象知,a>0,c<0,-<0,所以b>0,与abc>0矛盾;由D中的图象知,a>0,c<0,->0,所以b<0,abc>0成立.故选D. (2)y=-2x2+4x+6可化为y=-2(x-1)2+8,故将y=-2x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移8个单位长度即可得到y=-2(x-1)2+8的图象.故选B. 变式 解:∵y=x2-2x+1可变形为y=(x-1)2, ∴函数y=x2-2x+1的图象的顶点坐标为(1,0). 根据题意,把此函数的图象反向平移,可得到函数y=x2+bx+c的图象,即把函数y=x2-2x+1的图象向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,就可得到函数y=x2+bx+c的图象,此时点(1,0)平移至点(3,-3)处, ∴函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标是(3,-3), 则解析式为y=(x-3)2-3=x2-6x+6, 对照y=x2+bx+c,得b=-6,c=6. 探究点三 例3 解:(1)函数y=x2+2x-3的图象开口向上,且图象的对称轴为直线x=-1, 又x∈[-2,3],所以当x=-1时,y=x2+2x-3取得最小值-4,当x=3时,y=x2+2x-3取得最大值12. 所以函数y=x2+2x-3,x∈[-2,3]的最大值为12,最小值为-4. (2)y=x2+ax-3的图象的对称轴为直线x=-,图象开口向上. ①当-≤1,即a≥-2时,函数y=x2+ax-3在x=1处取得最小值1,即a-2=1,得a=3,符合题意; ②当-≥3,即a≤-6时,函数y=x2+ax-3在x=3处取得最小值1,即3a+6=1,得a=-,与a≤-6矛盾,舍去; ③当1<-<3,即-6
0,b>0,c<0,则二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴方程为x=-<0,D正确.故选D. 3.C [解析] 由题意可知图象的开口向下,可得a<0,所以①错误;图象与y轴交于正半轴,可得c>0,所以②正确;图象与x轴有两个交点,可得b2-4ac>0,所以③正确.所以正确的 ... ... 