§2 指数幂的运算性质 【课前预习】 知识点 (1)aα+β 诊断分析 1.解:因为0的负数指数幂无意义,所以a≠0.若a<0,如取a=-2,则[(-2)3没有意义. 故有理数指数幂的运算性质不适用于底数a=0或a<0的情况. 2.解:不对,例如(-2×(-2=[(-2)×(-2)不成立,其中(-2无意义. 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)=-=4a. (2)··(2)÷=10=10a. (3)====()5=()5=. 变式 解:(1)原式=1+4×-×=1+6-1=6. (2)原式====b,因为a=,b=,所以原式=(×3-1=3. 探究点二 例2 解:因为-=()3-()3, 所以== a+a-1+1=(+)2-2+1=52-1=24. 变式 解:因为-=()3-()3, 所以== a+a-1+1=(-)2+2+1=52+3=28. 拓展 解:因为10a=2,102b=5,所以=(10a÷102b==.§2 指数幂的运算性质 1.D [解析] ==≠a,故A错误;a÷==≠,故B错误;==a0=1≠0,故C错误;()4==a,故D正确.故选D. 2.D [解析] 2×=(33×(32=32×3-3=9×=.故选D. 3.A [解析] 因为ab=2 ×3 =(2×3,所以36=(2×3)2=[(2×3=(ab=. 4.A [解析] ===.故选A. 5.B [解析] 原式=÷=÷=×2=.故选B. 6.C [解析] a===2023-,b===2023-,所以a-b=-=<0,所以a0,得=π-3,A选项正确;B选项,=[a3b-1(b2a-6==a0b0=1,B选项正确;C选项,=,C选项错误;D选项,4÷=-6=-6a0b1=-6b,D选项正确.故选ABD. 9.ACD [解析] ∵a+a-1=4,∴(a+a-1)2=a2+a-2+2=16,∴a2+a-2=14,故选项A正确;∵(a-a-1)2=(a+a-1)2-4=42-4=12,∴a-a-1=±2,故选项B错误;∵(+)2=a+2+a-1=4+2=6,∴+=,故选项C正确;∵(+)3=++3a+3a-1=++3+3=++3(+),且+=,∴()3=++3,∴+=3,∴==3,故选项D正确.故选ACD. 10. [解析] ∵10x=3,10y=4,∴102x-y===. 11.1 [解析] (··÷=··÷=·=a0·b0=1. 12. [解析] ==×,因为3a+2b+1=0,所以a+b=-,则=×=. 13.解:(1)原式=-=-2a0b1c2=-2bc2. (2)原式=(÷(=÷a-1=. 14.解:(1)因为a>0,且a2x=+1,所以a-2x===-1,所以(ax+a-x)(ax-a-x)=a2x-a-2x=+1-(-1)=2. (2)====+1. (3)==a2x-ax·a-x+a-2x=+1-1+(-1)=2-1. 15.0 [解析] 因为153(5ab-bc-3ac)===×=1,所以3(5ab-bc-3ac)=0,即5ab-bc-3ac=0. 16.解:∵a7=128,∴a===2. ∴+++=++=++= +=+==-.§2 指数幂的运算性质 【学习目标】 1.掌握实数指数幂的运算性质及利用性质进行综合运算,能够熟练、准确地进行指数式、根式等的相互转化,能够熟练地利用性质进行数式的化简、求值等综合运算. 2.通过实数指数幂的综合运算,提高数学运算的核心素养. ◆ 知识点 实数指数幂的运算性质 对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂满足下面的运算性质: (1)aα·aβ= ; (2)(aα)β=aαβ; (3)(ab)α=aαbα. 【诊断分析】 1.有理数指数幂的运算性质是否适用于底数a=0或a<0的情况 2.an·bn=(a·b)n,a,b,n∈R,这个等式对吗 ◆ 探究点一 指数幂的综合运算 例1 化简与计算(式中的字母均为正实数): (1); (2)··(2)÷; (3). 变式 (1)计算:+22×-×. (2)已知a=,b=,求的值. [素养小结] 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧: (1)有括号,则先化简或计算括号里的式子; (2)无括号,则先进行指数运算; (3)负指数幂化为正指数幂的倒数; (4)底数是小数,先要化为分数,底数是带分数,先要化为假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,利用指数运算性质求解. ◆ 探究点二 条件求值 例2 已知+=5(a>0),求的值. 变式 若将例2中的条件+=5改为-=5,则结论如何 [素养小结] 对于“条件求值”问题,要根据式子的特点,弄清已知条件与待求式的联系,然后用整体代换的思想求解.要注意恰当地变形,如分解因式等,还要注意开方时正负值的选取. 拓展 [2024·皖豫名校联盟高一期中] 已知 ... ...
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