第五章 1.2 利用二分法求方程的近似解（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第一册

1.2　利用二分法求方程的近似解 【课前预习】 知识点一 连续的曲线　中点 诊断分析 解:我们把称为区间(a,b)的中点,区间的中点是数不是点. 知识点二 (1)异号　(2)中点　异号　(3)任意一个 诊断分析 解:不会.初始区间的选定,往往需要通过分析函数的性质和试算,长度应尽可能的小. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)B　(3)C　[解析] (1)用二分法求函数零点的近似值仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.观察所给的四个函数的图象,它们与x轴都有交点,但B中的图象在x轴上或x轴上方,即函数在零点附近的函数值不变号,无法用二分法.故选B. (2)∵f(1.5)·f(1.25)<0,且f(x)在R上是增函数,∴方程的根所在的区间是(1.25,1.5). (3)易知选项C中的函数f(x)=x2的零点为x=0,而在零点左右两侧的函数值都为正数,故不能用二分法求零点;选项A,B,D中的函数,它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反,可以用二分法求函数的零点.故选C. 探究点二 例2　解:设f(x)=2x+3x-6,在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=6-3x的图象,观察图象可以发现,它们的图象仅有一个交点,即方程2x=6-3x有唯一解,设为x0.因为f(1)=2+3-6=-1<0,f(2)=4+6-6=4>0,所以f(1)·f(2)<0,即方程2x=6-3x的解x0∈(1,2).利用二分法,可以得到下表: 区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f (1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)≈1.33>0 (1,1.5) f(1)<0 f(1.5)>0 1.25 f(1.25)≈0.13>0 (1,1.25) f(1)<0 f(1.25)>0 1.125 f(1.125)≈-0.44<0 (1.125,1.25) f(1.125)<0 f(1.25)>0 1.187 5 f(1.187 5)≈-0.16<0 因为|1.187 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以当精确度为0.1时,方程的解x0∈(1.187 5,1.25),因此可选取这一区间上的任意一个数作为方程的近似解,如可取x0=1.2作为方程2x=6-3x的一个近似解. 变式　解:(1)令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0, 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点, 即方程f(x)=0在(0,1)内有解. 取区间(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)=-1.25<0, 又f(1)>0,所以方程f(x)=0在(0.5,1)内有解. 如此下去,得到方程f(x)=0的正实数根所在的区间,如表: 区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f (0,1) f(0)<0 f(1)>0 0.5 f(0.5)<0 (0.5,1) f(0.5)<0 f(1)>0 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) f(0.5)<0 f(0.75)>0 0.625 f(0.625)<0 (0.625,0.75) f(0.625)<0 f(0.75)>0 0.687 5 f(0.687 5)<0 因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.7. (2)设至少需要n次等分,n∈N+, 由题意知,<0.1,即2n>10,n∈N+, 解得n≥4,所以至少需要4次等分. 拓展　解:由题意知f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-2=ln 2>0, 所以f(1)·f(2)<0,即方程f(x)=0在区间(1,2)内有解. 利用二分法,可得到下表: 区间(a,b) f(a) f(b) 区间中点 f (1,2) f(1)<0 f(2)>0 1.5 f(1.5)<0 (1.5,2) f(1.5)<0 f(2)>0 1.75 f(1.75)>0 因为|1.75-1.5|=0.25<0.5,所以方程f(x)=0的一个精确度为0.5的近似解可取为1.6.1.2　利用二分法求方程的近似解 1.B　[解析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.对于选项B,不满足函数在零点x0附近函数值异号,不能用二分法求零点.对于选项A,C,D,满足函数在零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.故选B. 2.B　[解析] 设f(x)=x+lg x-3,显然函数图象是一条连续曲线,且f(x)在(0,+∞)上单调递增.计算得f(1)=-2<0,f(2)=lg 2-1<0,f(3)=lg 3>0,所以f(2)·f(3)<0,故区间[2,3]可以作为初始区间.故选B. 3.A　[解析] ∵x0∈[a,b]且f(x0)=0,∴x0是f(x)的一个零点,①为假命题;当f(x)在[a,b]上的图象不是一条连续曲线,或x0是f(x)的不变号零点时,不可以用二分法求x0的近似值,②为假命题;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,③为假命题;用 ... ...