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课件网) §2 实际问题中的函数模型 2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 备用习题 【学习目标】 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律． 知识点一 实际问题的函数刻画 根据实际问题提供的两个变量间的关系是否确定，可把构建函数模型问题分为 两类： 一是构建确定的函数模型，因为变量间的关系确定，所以一般通过对变量的分 析，寻求相等关系来建立函数模型； 二是构建最佳的函数模型，因为实际问题中的变量间的关系并不完全确定，所 以一般是通过两个变量间的几组对应值，找到一个最恰当的函数模型. 知识点二 用函数模型解决实际问题 1.解应用题的一般思路 2.求解应用题的一般步骤（四步法） （1）读题审题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系； （2）建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； （3）求解：化归为常规数学问题，选择合适的数学方法求解； （4）评价：对结果进行验证或评估，对错误加以修正，最后将结果应用于实际 问题，作出解释或验证. 知识点三 常见的函数模型 许多实际问题，一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数及其性质，使问题 得到解决． 常见函数模型有： ①正比例函数模型： ； ②反比例函数模型： ； ③一次函数模型： ； ④二次函数模型： ； ⑤指数函数模型：，且， ； ⑥对数函数模型：，，且 ； ⑦幂函数模型： . 【诊断分析】 选择函数模型时应注意什么问题？ 解:选择函数模型时，要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合. 先根据散点图选取适当的函数模型，然后通过待定系数法求解析式， 最后通过数据验证. 探究点一 通过图象确定函数关系 例1 有一组数据如下表所示： 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最合适的一 个是( ) B A. B. C. D. [解析] 根据所给数据，作出散点图，如图所示： 由图可知, 最合适.故选B. 变式（1） 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组数据． 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一 个是( ) B A. B. C. D. [解析] 由表格数据可知随着的增大， 逐渐增大，且增长的速度越来越慢，只 有B符合题意. （2）（多选题）[2023·贵阳高一期末] 某公司总结了在30天内 商品的销售价格 （单位：元）与时间（单位：天）的关系，如图所示，商品的销售量 （单位：万件）与时间的关系是 ，则下列说法正确的是 ( ) AD A.第15天的日销售额最大 B.第20天的日销售额最大 C.最大日销售额为120万元 D.最大日销售额为125万元 [解析] 当时，设，因为图象过点, ， 所以解得所以. 当时，设 ，因为图象过点,， 所以解得所以 . 综上可得， 设第天的销售额为 ， 因为 ， 所以 整理可得 当时，，所以 ， 当且仅当时，等号成立； 当时， ，所以 当且仅当 时，等号成立. 综上可得，第15天的销售额最大，最大值为125万元，故A，D正确.故选 . ［素养小结］ 通过图象确定函数关系的一般步骤 （1）以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点； （2）依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数关系，并设出其解析式； （3）取特殊数据代入，求出函数的具体解析式； （4）将其他点的坐标代入函数解析式，检验所得函数是否符合． 探究点二 用已知函数模型解决实际问题 例2 某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少. 已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量 ， ... ...
