高中数学人教A版（2019）必修第一册 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 举一反三 (原卷版+解析版)

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型1】一元二次不等式的概念 3 【题型2】不含参的一元二次不等式的解法 4 【题型3】含参的一元二次不等式的解法 5 【题型4】分式不等式的解法 7 【题型5】二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 8 一、一元二次不等式的概念 定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 二、一元二次不等式的解法 1.一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目Δ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|xx2}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x10(<0)(其中a，b，c，d为常数)(ax+b)(cx+d)>0(<0)≥0(≤0)(ax+b)(cx+d)≥0(≤0)，且cx+d≠0>k(≥k)(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式 1.(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标. (2)若二次项系数为正数的不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (3)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. 【题型1】一元二次不等式的概念 下列不等式中是一元二次不等式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的定义对各个选项逐个判断即可求解． 【解答】解：根据一元二次不等式的定义可知选项为一元二次不等式， 选项含有，两个元，选项中可能为0，选项中在分母上， 故选：． 方法点拨 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母看成相关的参数. 【变式1】下列关于的不等式中，一元二次不等式的个数为　　 ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列不等式中，一定是一元二次不等式的为 　①⑤　（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【变式3】（2024秋 和林格尔县期中）下列不等式是一元二次不等式的是　　 A． B． C． D． 【题型2】不含参的一元二次不等式的解法 （2024秋 和田县期末）不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可． 【解答】解：由可得． 所以或． 所以不等式的解集为． 故选：． 方法点拨 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.结合图象写出不等式的解集. 【变式1】（2025春 集宁区期末）不等式的解集为　　 A． B． C．或 D． 【变式2】（2025 湖南模拟）不等式的解集是　　 A． B． C． D．，， 【变式3】（2024秋 鹤山市期末）一元二次不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【题型3】含参的一元二次不等式的解法 （2025 安徽开学）解关于的不等式：． 【答案】当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 【分析】分的不同取值范围求解不等式． 【解答】解：当时，不等式等价于，此时不成立，即不等式的解集为； 当时，不等式转化为， ①若时，因为，此时不等式的解集为 ... ...