高中数学人教A版（2019）必修第一册 3.2.1 单调性与最大（小）值 举一反三 (原卷版+解析版)

3.2.1 单调性与最大（小）值 【题型1】函数的单调性与函数图象的特征 3 【题型2】利用定义证明函数的单调性 5 【题型3】求函数的单调区间 7 【题型4】由函数的单调性求解函数或参数 8 【题型5】求函数的最值 10 【题型6】由函数的最值求解函数或参数 12 一、直观感知函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果 x1，x2∈I，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 二、直观感知函数的最大值和最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值. 1.(1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1，x2的大小. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 2.(1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y=x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 【题型1】函数的单调性与函数图象的特征 （2024秋 双流区期中）已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为　　 A．，， B．，， C．， D．， 【答案】 【分析】由图象上升下降的情况判断即可． 【解答】解：函数的图象在区间和是上升的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为，． 故选：． 方法点拨 (1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间. (2)若函数不是上述常见函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间. (3)一个函数有多个单调区间时，区间不能用“∪”连接，而要用“和”或“，”连接. 【变式1】（2024秋 灵丘县期中）作出函数的图象，并指出函数的单调区间． 【变式2】（2024秋 察右前旗期中）设函数，若，． （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间． 【变式3】（2024秋 颍泉区期中）设函数，若， （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）画出函数的图象，并说出函数的单调区间． 【题型2】利用定义证明函数的单调性 （2024秋 吉林期末）已知函数，且（1）． （1）求； （2）判断函数在，上的单调性，并用定义法证明； （3）求函数在区间，上的最大值和最小值． 【分析】（1）直接由（1）代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可． 【解答】解：（1）根据题意，函数，且（1）， 则有，解可得． （2）根据题意，函数在 ... ...