高中数学人教A版（2019）必修第一册 第三章 3.2.1 单调性与最大（小）值 一、单选题 1.下列说法正确的是（ ） A. 定义在上的函数，若存在，且，满足，则在上为增函数 B. 定义在上的函数，若有无穷多对，使得时，有，则在上为增函数 C. 若在区间上单调递增，在区间上也单调递增，那么在上也一定单调递增 D. 若在区间上单调递增且，则 2.（2025广东广州大同中学期中）函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 3.（2025河南平顶山期中）下列说法正确的是（ ） A. 若，当时，，则在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数在定义域内单调递增 D. 函数的单调递减区间为 4.（2025北京第五十五中学期中）设函数的定义域为，则“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.（2023安徽蚌埠期末）若函数的定义域为，则“”是“是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.函数的最大值为（ ） A. 0 B. 2 C. 6 D. 12 二、多选题 7.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调的是（ ） A. B. C. D. 8.（2025山西阳泉一中期中）定义在上的函数满足：，当时，恒有，则称为“理想函数”。则下列函数中是“理想函数”的是（ ） A. B. C. D. 9.（2024湖北孝感期中联考）已知函数的定义域为，若且，都有，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 10.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 11.（2025北京延庆区期中），设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为_____. 12.（2024山东枣庄第八中学月考）记函数在区间上的最大值和最小值分别为和，则_____. 四、解答题 13.判断下列函数的单调性，并用定义法证明： (1) ，； (2) ，。 14.（2025湖北襄阳第四中学期中）已知函数 (1) 用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2) 若函数的定义域为，且，求实数的取值范围。 15.（2024湖南永州期末统考）已知函数 (1) 若，求的值； (2) 若，判断在区间上的单调性，并用定义法证明。 一、单选题 1.答案：D 解析：根据函数单调性的定义，增函数要求对于定义域内某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 。A选项中只提到存在、满足条件，不满足“任意”，错误；B选项有无穷多对也不满足“任意”，错误；C选项，例如，在和上分别单调递增，但在上不单调，错误；D选项，若在区间上单调递增，且，根据增函数定义，必有，正确。 2.答案：C 解析：先求函数的定义域，由，即，，解得。令，函数的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减。又因为在上单调递增，根据复合函数“同增异减”原则，的单调递减区间是。 3.答案：B 解析：A选项，缺少“任意”两个自变量，不满足函数单调性定义，错误；B选项，对于二次函数，其对称轴为，图象开口向上，所以在上单调递增，正确；C选项，在和上分别单调递增，但在整个定义域内不是单调递增，错误；D选项，在和上分别单调递减，不能用并集表示其单调递减区间，错误。 4.答案：A 解析：若在区间上单调递增，那么当时，能取到最大值，所以“在区间上单调递增”能推出“在区间上的最大值为”；反之，在区间上的最大值为，不一定是单调递增的，比如，所以“在区间上的最大值为”不能推出“在区间上单调递增”，故“在区间上单调递增”是“在区间上的最大值为”的充分不必要条件。 5.答案：B 解析：仅由不能得出是增函数，因为增函数要求对于定义域内任意的，都有；而如果是增函数，那么一定有，所以“”是“是增函数”的必要不充分条件 。 6.答案：D 解析：对于函数，，设，则，函数可化为。该二次函数图象开口向上，对称轴为， ... ...
