5．2 导数的运算 5.2.2 导数的四则运算法则 [新课程标准] 1．能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数． 2．会使用导数公式表． 3．通过对导数的运算法则的学习，培养学生数学运算的核心素养． (一)教材梳理填空 导数的四则运算法则 (1)条件：f(x)，g(x)是可导的． (2)法则：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ③′＝(g(x)≠0)． ④[cf(x)]′＝cf′(x)． [微提醒] (1)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)． (2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)． (3)①注意′≠. ②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－. (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( ) (2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( ) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．函数y＝sin x·cos x的导数是( ) A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x 答案：B 3．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( ) A．1 B． C．－1 D．0 解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c， ∴f′(x)＝2ax. 又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1. 题型一 利用导数的四则运算法则求导 [学透用活] [典例1] 求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2ln x；(2)y＝； (3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sincos. [解] (1)f′(x)＝(x2ln x)′＝(x2)′ln x＋x2(ln x)′＝2xln x＋x. (2)法一：y′＝′＝＝. 法二：∵y＝＝1－， ∴y′＝′＝′ ＝－＝. (3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋. (4)∵y＝x－sincos＝x－sin x， ∴y′＝′＝1－cos x. (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律． (2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化． [对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x3－x2－x＋3； (2)y＝＋. 解：(1)y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x－1. (2)法一：因为y＝2x－2＋3x－3， 所以y′＝(2x－2＋3x－3)′＝(2x－2)′＋(3x－3)′＝－4x－3－9x－4＝－－. 法二：y′＝′＝′＋′ ＝＋＝－－. 题型二 导数运算法则的简单应用 [学透用活] [典例2] 设f(x)＝a·ex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋， 由f′(1)＝e，f′(－1)＝，得 解得所以a，b的值分别为1,0. 利用导数值求解参数问题是高考的热点问题．它能比较全面地考查导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键． [对点练清] 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝_____. 解析：由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋.所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案：－1 2．若函数f(x)＝在x＝c(c≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c的值． 解：∵f(x)＝，∴f(c)＝. 又f′(x)＝＝，∴f′(c)＝. 依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴＋＝0， ∴2c－1＝0，解得c＝. 题型三 与切线有关的综合问题 [学透用活] [典例3] 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝ ... ...
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