第四章 2.3 三角函数的叠加及其应用（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

2.3　三角函数的叠加及其应用 【课前预习】 知识点 诊断分析 1.(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)acos α+bsin α=,令=sin φ,=cos φ,则cos α+sin α=sin(α+φ),所以tan φ=. (2)y=sin x+acos x=sin(x+φ),其中tan φ=a,所以函数y=sin x+acos x的最大值是. (3)y=sin 2x-cos 2x=2sin,令2x-=kπ,k∈Z,解得x=+kπ,k∈Z, 所以函数y=sin 2x-cos 2x图象的对称中心是,k∈Z. 2.解:asin α+bcos α=,令=-sin φ,=cos φ, 则asin α+bcos α=(cos αcos φ-sin αsin φ)=cos(α+φ). 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)sin 15°+cos 15°=(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)=sin(15°+45°)=sin 60°=. (2)原式=2. 方法一(化正弦):原式=2=2=2sin=2sin=-. 方法二(化余弦):原式=2=-2=-2cos=-2cos=-. (3)cos+sin=2=2=2sin=2sin=2. 变式　(1)B　(2)sin　[解析] (1)cos+sin=2=2=2sin=2sin=2.故选B. (2)sin+cos==×2==sin=sin. 探究点二 例2　A　[解析] y=sin 2x-cos 2x=2sin,将函数y=2sin的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin的图象,故选A. 变式　B　[解析] f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,则将函数g(x)=sin x的图象向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),可得f(x)=sin的图象.故选B. 探究点三 例3　解:(1)f(x)=sin+sin+cos 2x=sin 2x+cos 2x=2sin, 所以函数f(x)的最小正周期T==π. (2)(i)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.又x∈,所以≤x≤, 所以函数f(x)的单调递减区间为. (ii)由(i)知,f(x)在上单调递减,在上单调递增.又f(0)=2sin=,f=2sin=2,f=2sin=-,所以当x=时,f(x)取得最大值,最大值为2; 当x=时,f(x)取得最小值,最小值为-. 变式　ACD　[解析] f(x)=cos x-sin x=2 =2cos.对于A,易知函数 f(x)的最大值为 2, ∴A正确;对于B, ∵ f=2cos=2cos=0 ≠±2, ∴B错误;对于C,∵ f=2cos=2cos=0,∴C正确;对于D, ∵当 x∈时, x+∈, ∴易知函数f(x)在区间上单调递增,∴D正确.故选ACD.2.3　三角函数的叠加及其应用 1.A　[解析] cos-sin=cos+sin=sin=sin=. 2.C　[解析] f(x)=2sin+2cos=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为=8π,最大值为2.故选C. 3.B　[解析] ∵sin=sin θ+cos θ,∴sin θ+sin=sin θ+cos θ=sin=1,∴sin=.故选B. 4.B　[解析] f(x)=sin x-cos=sin x-cos x+sin x=sin,∵sin∈[-1,1],∴f(x)的值域为[-,]. 5.B　[解析] 因为a⊥b,所以a·b=4sin+4cos α-=2sin α+6cos α-=4sin-=0,所以sin=,则sin=-sin=-. 6.A　[解析] 由y=cos 2x-sin 2x=2cos可知,函数的最大值为2,故排除D;易知函数图象过点,故排除B;易知函数图象过点,故排除C.故选A. 7.B　[解析] 由题意得,f(x)=sin 2x-cos 2x =2sin,则g(x)=2sin,从而2sin=2sin=-2sin(2x-2t)=2sin(2x-2t+π),所以2t-=-2t+π+2kπ(k∈Z),即t=+(k∈Z),又t>0,所以tmin=.故选B. 8.ABC　[解析] cos 10°+sin 10°=2=2sin 40°,A选项正确;cos+sin=2=2=2sin=2sin=2,B选项正确;cos-sin=cos=cos=,C选项正确;sin+cos=2=2sin=2sin,D选项错误.故选ABC. 9.ABC　[解析] 函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ω>0),当x∈[0,1]时,可得ωx+∈.因为在[0,1]内有且仅有两个不同的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2)=2,所以≤ω+<,解得≤ω<,结合选项可知,实数ω的值可能为π,3π和π.故选ABC. 10.-1　[解析] cos x+cos=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x==cos=-1. 11.　[解析] 因为A+B+C=π,所以B+C=π-A,所以sin A-cos(B+C)=sin A-cos(π-A) =sin A+cos A=2sin=2sin=. 12.,k∈Z　[解析] f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx+1=sin+1,因为函数f(x)的最小正周期为π,ω>0,所以T==π,则ω=1,所以f(x)=sin+1.由2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,故f(x)的图象的对称中心为,k∈Z. 13.解:(1)f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,ω>0,则最小正周 ... ...