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课件网) 2 复数的四则运算 2.2 复数的乘法与除法 *2.3 复数乘法几何意义初探 探究点一 复数的乘法运算 探究点二 复数的除法运算 探究点三 复数范围内的方程根的问题 *探究点四 复数乘法的几何意义初步 应用 【学习目标】 掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算. 知识点一 复数的乘法 1.复数的乘法法则 对任意两个复数, ,定义复数的乘 法如下： _____. 2.复数乘法的运算律 对任意，， ，有 交换律 _____ 结合律 _____ 乘法对加法的分配律 _____ 3.复数的乘方 （1）定义：对于复数，定义它的乘方 _ _____. （2）运算性质：_____，_____， _____，其中,,是复数，, 是正整数. （3）的乘方：对任意自然数,有___，__， ____， ____. 1 4.共轭性质 文字语 言 互为共轭复数的两个复数的乘积是_____，等于这个复 数（或其共轭复数）模的平方 符号表 示 若，则 实数 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）互为共轭复数的两个复数的和与乘积都是实数.( ) √ （2）若，，且，则 .( ) × [解析] 例如，,,满足，但不满足 . （3） .( ) × [解析] 例如,，而 . （4）若（为虚数单位），则 .( ) × [解析] 因为 ， 所以 . 知识点二 复数的除法 1.倒数 给定复数，若存在复数，使得___，则称是 的倒数，记 作 ___. 1 2.复数的除法法则 对任意的复数和非零复数 ， 规定复数的除法： ,即除以一个复数，等于乘这个复数的倒 数.因此 _____. 【诊断分析】 复数的除法与实数的除法有何不同 解：实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复 数,一般不能直接约分化简.由于两个共轭复数的乘积是一个实数,因此, 两个复数相除时,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子、分 母同乘分母的共轭复数（注意是分母的共轭复数）,再把结果化简即可. *知识点三 复数乘法几何意义初探 设复数所对应的向量为 . 若所对应的向量为，则是 与__的 _____，即是将沿原方向_____ 或_____ 倍得到的. 所对应的向量为，则 是将_____逆时针旋转__ 得到的. 数乘 伸长 压缩 探究点一 复数的乘法运算 例1 计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 变式（1） 已知，为虚数单位，若 为纯虚数， 则 ( ) A. B. C.2 D.6 [解析] ， 根据题意可得可得 故选B. （2） ____. [解析] 因为 ， 所以 . √ ［素养小结］ 1.两个复数代数表示式的乘法运算的一般步骤： （1）按多项式的乘法展开； （2）将换成 ； （3）进行复数的加、减运算. 2.两个复数代数表示式的乘法运算的常用公式： （1） ； （2） ； （3） . 探究点二 复数的除法运算 例2 计算： （1） ； 解： . （2） . 解： . 变式（1） 已知复数满足，则 ____. [解析] 由题意得 , 则 . （2）若复数，则 的虚部为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得， 故复数 的虚部为 .故选C. √ ［素养小结］ 1.两个复数代数表示式的除法运算的一般步骤： （1）将除式写为分式； （2）将分子、分母同乘分母的共轭复数； （3）将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数表示式. 2.常用公式： （1）；（2）；（3） . 探究点三 复数范围内的方程根的问题 ［探索］ 在复数范围内解方程 . 解：由，得，则 ， 解得，即，所以原方程的解是 . 例3 在复数范围内解方程 . 解：由，得 ， 即，解得或或 ， 所以原方程的解是或或 . 变式 [2024·浙江宁波高一期中] 若（为虚数单位）是关于 的 实系数一元二次方程的一个虚根，则实数 ____. [解析] 因为是关于的实系数一元二次方程 的一 个虚根， 所以也是关于的实系数一元二次方程 的一个虚根， 则，解得 . ［素养小结］ 在复数范围内,实系数一元二次方程,, ,且 的解法： 1.求根公式法： （1 ... ...
