*§3 复数的三角表示 3.1 复数的三角表示式 3.2 复数乘除运算的几何意义 【学习目标】 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角形式,了解辐角、辐角的主值的概念. 2.了解复数的代数形式与三角形式之间的关系,会进行代数形式与三角形式的互化. 3.了解复数乘、除运算的三角形式,并能够进行简单的运算. 4.了解复数乘、除运算的三角形式的几何意义,并能够进行简单的应用. ◆ 知识点一 复数的三角表示式 1.定义:如图,以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边,向量所在的射线为终边的角θ,称为复数z=a+bi的 .z=r(cos θ+isin θ)称为复数z=a+bi(a,b∈R)的 ,简称 .为了与三角形式区分,a+bi称为复数的代数表示式,简称 . 2.辐角的主值:满足条件 的辐角值称为辐角的主值,记作 ,即0≤arg z<2π. 3.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的 与 分别相等. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)z=r(cos θ+isin θ)是复数的三角形式,其中θ的值有无数个. ( ) (2)复数z=2的辐角的主值为. ( ) (3)两个非零复数相等当且仅当它们的辐角的主值相等. ( ) ◆ 知识点二 复数的代数形式与三角形式的互化 1.复数的两种形式: 代数形式为z=a+bi(a,b∈R); 三角形式为z=r(cos θ+isin θ). 2.复数的两种形式的互化: (1)在a+bi=r(cos θ+isin θ)中,r= ,cos θ= ,sin θ= . (2)在r(cos θ+isin θ)=a+bi中,a= ,b= . ◆ 知识点三 复数三角形式的乘法运算及其几何意义 1.复数三角形式的乘法运算 若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+ isin θ2)= .这就是说,两个复数相乘,积的模等于它们的 ,积的辐角等于它们的 . 2.复数三角形式乘法的几何意义 两个复数z1,z2相乘时,如图所示,先画出它们分别对应的向量,,然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角 (若θ2<0,就要把绕原点O按顺时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 倍,所得向量就表示复数z1,z2的乘积. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2-isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. ( ) (2)若z1=2,z2=2,则z1z2的辐角的主值是. ( ) ◆ 知识点四 复数三角形式的除法运算及其几何意义 1.设z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,则== . 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 2.复数三角形式除法的几何意义 两个复数z1,z2进行除法运算时,如图所示,先画出它们分别对应的向量,,然后把向量绕原点O按顺时针方向旋转角 (若θ2<0,就要把绕原点O按逆时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 ,所得向量就表示复数z1,z2的商. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z1≠0,则=[cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)]. ( ) (2)若z1=2,z2=2,则的辐角的主值是. ( ) ◆ 探究点一 复数三角形式的有关概念 例1 (1)-1-i的三角形式是 ( ) A.-2 B.2 C.2 D.2 (2)复数z=2(cos 30°-isin 30°)的辐角的主值是( ) A.30° B.150° C.210° D.330° (3)下列复数的表示形式为三角形式的是 ( ) A.z=(cos 60°-isin 60°) B.z=(sin ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
