第2课时 空间几何体与球的切接问题 【课前预习】 知识点 诊断分析 (1)× (2)√ (3)× [解析] (1)任何长方体都有外接球,当长方体的长、宽、高都相等,即为正方体时,也有内切球. (3)圆锥的内切球与其侧面相切于一个圆. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)D [解析] 如图,设O1是BC的中点,连接O1A,O1P,因为∠BAC=90°,所以O1是△ABC的外心,O1A=O1B=O1C.因为PA=PB=PC=BC=2,O1是BC的中点,所以PO1⊥BC,PO1=,O1A=1,则P+O1A2=PA2,则PO1⊥O1A.又O1A∩BC=O1,O1A,BC 平面ABC,所以PO1⊥平面ABC,又PO1 平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABC.由于△PBC是等边三角形,设O是△PBC的外心,则O在PO1上,连接OB,OC,OA,则OP=OB=OC=OA,则O是三棱锥P-ABC外接球的球心.设外接球的半径为r,根据等边三角形的性质可知r=OP=O1P=,所以外接球的表面积为4πr2=4π=π.故选D. (2)解:过半球球心作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC'=a,OC=. 连接OC',在Rt△C'CO中,CC'2+OC2=OC'2, 即a2+=R2,得R=a. 所以V半球=×πR3=π=πa3,V正方体=a3, 因此V半球∶V正方体=πa3∶a3=π∶2. 变式 (1)A (2)A [解析] (1)因为平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD,所以可将四面体ABCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分,如图所示,则四面体ABCD的外接球即为直三棱柱的外接球.因为底面三角形ABC的外心到三角形ABC的顶点的距离为×=,所以直三棱柱的外接球的半径r==,则球O的表面积S=4πr2=4π×=,故选A. (2)由题意,设球的球心为O,半径为R,正三棱台的上、下底面分别为△A1B1C1,△A2B2C2,A1A2,B1B2,C1C2均为正三棱台的棱,则△A1B1C1,△A2B2C2都是等边三角形.设△A1B1C1,△A2B2C2的外接圆圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2=1.连接O1A1,O2A2,∵等边三角形A1B1C1和等边三角形A2B2C2的边长分别为3,4,∴O1A1=3,O2A2=4.连接OA1,OA2,若点O在线段O1O2上,则R2=O1+O=O2+(1-OO1)2,即32+O=42+(1-OO1)2,可得OO1=4>O1O2,矛盾,故点O在线段O1O2的延长线上.由题意得R2=O1+(OO2+1)2=O2+O,可得OO2=3,R=5,∴该球的表面积S=4πR2=100π. 探究点二 例2 [解析] 设球O的半径为r,则圆柱的底面半径为r,高为2r,所以==. 变式 [解析] 如图所示,设圆锥底面圆的圆心为O,一条直径为AB,圆锥的顶点为P,连接PO,则圆锥PO的一个轴截面为等腰三角形PAB.设该圆锥内能放置的半径最大的球的球心为O1,易知球O1的一个轴截面是△PAB的内切圆,设球O1与PA切于点C,连接O1C.由题意知AO=3,PA=5,则PO=4,设球O1的半径为R,由Rt△PO1C∽Rt△PAO得=,即=,解得R=,所以球O1的体积为π×=.第2课时 空间几何体与球的切接问题 1.A [解析] ∵球的半径为1,且正方体的各个顶点都在球面上,∴球的直径等于正方体的体对角线长,∴正方体的体对角线长为2.设正方体的棱长为a,则有3a2=4,即a2=,∴正方体的表面积为6a2=6×=8. 2.A [解析] 如图,将三棱锥P-ABC放于一个长方体内,则三棱锥的外接球就是长方体的外接球,∴PB为三棱锥P-ABC外接球的直径.∵PB==10,∴外接球的表面积为4π×=100π.故选A. 3.C [解析] 由题意可得该圆柱的底面半径为1,高为2,易得该圆柱的内切球的半径为1,则该圆柱的内切球的体积为π×13=π.故选C. 4.B [解析] 正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心为O,由对称性可知O为正方体的中心,所以O到平面ABCD的距离为1,即四棱锥O-ABCD的高为1,又四棱锥的底面积为2×2=4,所以四棱锥O-ABCD的体积为×4×1=.故选B. 5.C [解析] 由正弦定理得,△ABC的外接圆直径为2r==6,得r=3.设球心到平面ABC的距离为d,则d=PA=3,∴三棱锥P-ABC的外接球半径R===3.故选C. 6.C [解析] 设圆台的母线长为l,上、下底面半径分别为r1和r2,则圆台侧面积S=π(r1+r2)l=π(1+2)l=3πl,上、下底面的面积分别为π和4π.由圆台的表面积为(5+3)π, ... ...
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