第3课时 直线方程的一般式 【学习目标】 1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的一般式. 2.会进行直线方程的五种形式之间的转化. ◆ 知识点一 直线方程的一般式 关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不全为0)表示的是一条直线,称它为直线方程的 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线方程的一般式都可以化为截距式. ( ) (2)直线方程的一般式都可以化为斜截式. ( ) (3)平面直角坐标系中的任何一条直线都可以用直线方程的一般式表示. ( ) ◆ 知识点二 直线方程的点法式 若直线l过点P0(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),则直线l的方程为 ,称这个方程为直线方程的点法式. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何直线的方程都可以化为点法式. ( ) (2)直线Ax+By+C=0的一个法向量的坐标为(B,-A). ( ) (3)直线Ax+By+C=0的一个方向向量的坐标为(B,-A). ( ) ◆ 探究点一 直线方程的一般式 例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式. (1)斜率是,且经过点A(5,3); (2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (3)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1; (4)经过点B(4,2),且平行于x轴. 变式1 若方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,则实数m满足 ( ) A.m≠0 B.m≠2 C.m≠±2 D.m≠±2且m≠0 变式2 求直线x-2y+2=0绕点(-2,0)按逆时针方向旋转后所得到的直线的方程. [素养小结] 1.求直线方程的一般式的方法 2.由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时,一定要注意转化的前提条件. ◆ 探究点二 直线方程一般式的应用 例2 设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0. (1)若直线l在x轴上的截距为-3,求m的值; (2)若直线l的斜率为1,求m的值. 变式 (1)[2024·北京101中学高二月考] 由曲线2|x|+|y|=2围成的图形的面积为 ( ) A.2 B.4 C.5 D.8 (2)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax-y+b=0,l2:bx+y-a=0(ab≠0)的位置可能是 ( ) A B C D [素养小结] (1)若方程Ax+By+C=0表示直线,则需满足A,B不同时为0. (2)在直线方程Ax+By+C=0中,令x=0可得直线在y轴上的截距,令y=0可得直线在x轴上的截距.若确定直线斜率存在,则可将一般式化为斜截式. (3)解分式方程注意验根. 拓展 已知直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0. (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. ◆ 探究点三 直线方程的点法式 例3 (1)直线l过点A(3,-1),且l的一个法向量为n=(3,2),则直线l的方程的点法式为 . (2)在△ABC中,A(3,2),B(1,1),C(2,3),则AB边上的高所在直线的方程是 ( ) A.2x+y-7=0 B.2x-y-1=0 C.x+2y-8=0 D.x-2y+4=0 变式 过点P(-1,2),且与直线=垂直的直线的方程的点法式为 . [素养小结] 在求直线方程的点法式时,一定要区别直线的法向量与方向向量, 结合向量的知识准确找出直线的一个法向量,再由点法式,写出直线的方程. ◆ 探究点四 直线过定点问题 例4 (1)无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点的坐标为 ( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1) (2)已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0过定点 ( ) A. B. C. D. 变式 已知A(-2,4),B(4,2),直线l:ax-y-2=0与线段AB恒相交,求实数a的取值范围. [素养小结] (1)题目给出已知直线方程含参,则直线一般过定点; (2)直线过定点,当斜率存在时,将直线方程化为点斜式,可得直线过定点P,当斜率不存在时,根据直线方程也可得直线过定点P,从而可得答案.第3课时 直线方程的一般式 一、选择题 1.直线x+3y+4=0的倾斜角为 ( ) A. B. C. D. 2.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过 ... ...
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