第2课时 圆的标准方程的综合应用 【学习目标】 理解圆的几何性质. ◆ 知识点 圆的简单几何性质 由圆的方程x2+y2=r2(r>0),可得圆的简单几何性质: (1)范围 由方程x2+y2=r2可得圆上任意一点P(x,y)都满足不等式|x|≤r,|y|≤r,这说明圆上的所有点都在两条平行直线x=-r,x=r和两条平行直线y=-r,y=r围成的 之间. (2)对称性 根据方程x2+y2=r2的结构特点,可以发现:若点P的坐标(x,y)满足方程x2+y2=r2,则点P分别关于x轴、y轴和原点O对称的点 , , 的坐标也都满足方程x2+y2=r2,这说明圆x2+y2=r2既是关于 和 的轴对称图形,也是关于 的中心对称图形. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上任意一点P的坐标(x,y)都满足不等式|x|≤r,|y|≤r. ( ) (2)若圆关于直线对称,则直线一定过该圆的圆心. ( ) ◆ 探究点一 与直线相关的圆的标准方程 例1 过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是 ( ) A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-3)2+(y+1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 变式 已知圆C的圆心在直线y=x上,且与y轴相切于点(0,5),则圆C的标准方程是 ( ) A.(x+5)2+(y-5)2=25 B.(x-5)2+(y-5)2=25 C.(x-5)2+(y-5)2=5 D.(x+5)2+(y-5)2=5 [素养小结] 求具备一定条件的圆的方程时,关键是确定圆的两个几何要素,即圆心和半径,常用待定系数法.在一些问题中借助圆的平面几何知识可以简化计算,如已知一个圆经过两个点时,其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上,解题时要注意平面几何知识的应用. ◆ 探究点二 圆的简单几何性质 例2 (1)已知实数x,y满足方程(x+4)2+(y-2)2=4,则x的最大值为 ( ) A.3 B.2 C.-1 D.-2 (2)在平面直角坐标系xOy中,P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的动点,若A(-a,0),B(a,0),a≠0,则|+|的最大值为 . 变式 设点P(x,y)是圆C:x2+(y-2)2=1上的动点,定点A(1,0),B(-1,0),则·的最大值为 . [素养小结] 在解决与圆有关的问题时,借助于圆的几何性质,往往可以简化思路,简便运算. ◆ 探究点三 与圆有关的最值问题 例3 已知点(x,y)在曲线(x-2)2+y2=1上,则的最大值是 ( ) A.6 B.25 C.26 D.36 变式 一束光线从点A(-1,1)射出,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是( ) A.4 B.2 C.5 D.6 [素养小结] 求解与圆有关的长度或距离的最值问题时,一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解. 拓展 [2024·山东泰安高二期中] 已知点(x,y)在曲线x-1=上,则的最大值,最小值分别为 ( ) A.+2,-2 B.+2, C.,-2 D.,第2课时 圆的标准方程的综合应用 【课前预习】 知识点 (1)正方形 (2)P1(x,-y) P2(-x,y) P3(-x,-y) x轴 y轴 原点 诊断分析 (1)× (2)√ 【课中探究】 例1 A [解析] 因为A(1,-1),B(-1,1),所以线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,所以线段AB的中垂线的斜率k=1,所以线段AB的中垂线的方程为y=x,即圆心在直线y=x上.又因为圆心在直线x+y-2=0上,所以由解得所以圆心坐标为(1,1),圆的半径r==2,所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.故选A. 变式 B [解析] 设圆心C的坐标为(a,a),点A的坐标为(0,5),连接AC,由于圆C与y轴相切于点A(0,5),所以AC⊥y轴,可得a=5,所以圆心C的坐标为(5,5),圆C的半径为|AC|=5,因此,圆C的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=25.故选B. 例2 (1)D (2)12 [解析] (1)由题可知,点(x,y)为圆(x+4)2+(y-2)2=4上的点,圆心坐标为(-4,2),半径r=2,则-6≤x≤-2,即x的最大值是-2,故选D. (2)易知|+|=2||,且||max=|OC|+1=+1=6,所以|+|max=12. 变式 8 [解析] 因为点P(x,y)在圆C上,所以x2+(y-2)2=1,则x2=1-(y-2)2,且1≤y≤3.因为=(1-x,-y),=(-1-x,-y),所以 ... ...
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