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课件网) 1 椭圆 1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 备课素材 ◆ 备用习题 【学习目标】 1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.了解椭圆标准方程中,,, 的几何意义. 知识点 椭圆的简单几何性质 1.椭圆的几何性质 标准方程 图形 _____ _____ 标准方程 性 质 焦点 _____ _____ 焦距 范围 _____ _____ 对称性 关于_____对称 长轴 ,其中 为长半轴长 短轴 ,其中 为短半轴长 顶点 _____ _____ 离心率 _____ , , ， ， 轴、轴和原点 , , 续表 2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 （1）离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率,用 表示，即_____,显然 . （2）离心率对椭圆扁圆程度的影响 如图所示,在中,,记 ,则 ,易知越大,越小,椭圆越____; 越小, 越大,椭圆越____. 扁 圆 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）椭圆的顶点一定在坐标轴上.( ) × （2）椭圆的长轴长是 .( ) × （3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程 为 .( ) × （4）椭圆比椭圆 更扁一些.( ) √ 探究点一 椭圆的简单几何性质 例1 求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： （1） ； 解：由椭圆方程可知其焦点在轴上，,，则 ， 所以该椭圆的长轴长为6，短轴长为，焦距为 ； 上、下顶点坐标分别为,，左、右顶点坐标分别为, ； 上、下焦点坐标分别为,，离心率 . （2） ； 解：由椭圆方程可知其焦点在轴上，可得, ， 则， 所以该椭圆的长轴长为26，短轴长为24，焦距为10； 上、下顶点坐标分别为,，左、右顶点坐标分别为, ； 左、右焦点坐标分别为,，离心率 . （3） . 解：将椭圆方程整理变形成标准方程可得 ， 易知其焦点在轴上，可得,，则， 所以该椭圆的长轴长为1，短轴长为 ，焦距为； 上、下顶点坐标分别为,,,，左、右顶点坐标分别为, ,,； 左、右焦点坐标分别为,,,，离心率 . 变式 [2024·兰州一中高二期中] 已知椭圆 的离心率 ，求 的值及椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标. 解：由整理得.因为， 所以该椭圆的焦点在 轴上且, . 又因为，所以，解得 ， 所以椭圆的方程为，可得,，则 . 所以椭圆的长轴长为，焦距为，焦点坐标为 ， 上、下顶点坐标分别为，， 左、右顶点坐标分别为， . ［素养小结］ 解决椭圆几何性质问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判 断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用，， 之间的关系和定义，求椭圆的 基本量. 探究点二 椭圆的简单几何性质的应用 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆过点，离心率 ； 解：若椭圆的焦点在轴上，则，， ， ， 椭圆的标准方程为. 若椭圆的焦点在 轴上，则，由， 解得， 椭圆的标准方程为. 综上，所求椭圆的标准方程为 或 . （2）椭圆在 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且其焦距为8； 解：由题意知椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为 . 设该椭圆的一个焦点为，为坐标原点，短轴的两个端点分别为， ， 则为等腰直角三角形，易知为斜边的中线（高）， 则在 中， ， ， ，且椭圆的焦距为8，, ， 故所求椭圆的标准方程为 . （3）椭圆经过点，且与椭圆 有相同的离心率. 解：方法一：设的离心率为，所求椭圆的长半轴长为 ,短半轴长为， 由题意知 . 所求椭圆与椭圆 的离心率相同，，即， 可设所求椭圆的标准方程为或 ， 将点的坐标代入椭圆的标准方程中，得或 ， 解得或 . 故所求椭圆的标准方程为或 . 方法二：由题意设所求椭圆的方程为 或， 将点的坐标代入可得， ，解得，， 故或 ，即所求椭圆的标准方程为或 . 变式 已知椭圆的对称轴是坐标轴，为坐标原点，是一个焦点， 是一个 ... ...
