§2 双曲线 2.1 双曲线及其标准方程 【课前预习】 知识点一 1.差的绝对值 大于零且小于|F1F2| 焦距 2.||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2| 2c 诊断分析 (1)× (2)× (3)× 知识点二 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) c2=a2+b2 诊断分析 (1)√ (2)√ (3)× 【课中探究】 例1 (1)D (2)A [解析] (1)易知|AB|=10,∵当a=3时,2a=6,∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).∵当a=5时,2a=10,∴点P的轨迹是以B为端点的一条射线.故选D. (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,则|PF1|=9.因为a=3,c==7,所以|PF1|2,所以点P的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的右支.故选A. (2)设P(x,y),A(-5,0),B(5,0),则由已知得||PA|-|PB||=8,即动点P到两个定点A,B的距离之差的绝对值等于常数8,又|AB|=10,且8<10,所以根据双曲线的定义知,动点P的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为8的双曲线.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则2a=8,2c=10,所以a=4,c=5,所以b2=c2-a2=9,所以双曲线的标准方程为-=1,即方程|-|=8化简后的结果是-=1.故选D. 拓展 解:因为双曲线的标准方程为-=1,所以a=3,b=4,c==5. (1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6,设点M到另一个焦点的距离为x,因为双曲线上一点M到双曲线的一个焦点的距离为16,所以|16-x|=6,解得x=10或x=22,故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)由题意知|PF2|-|PF1|=2a=6,将等号两边同时平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===0,且∠F1PF2∈(0°,180°),所以∠F1PF2=90°,故=|PF1|·|PF2|=×32=16. 例2 解:(1)由题意知,c=8,b=4,且双曲线的焦点在x轴上, 所以a2=c2-b2=48, 故所求双曲线的标准方程为-=1. (2)因为双曲线的焦点在x轴上,所以可设其标准方程为-=1(a>0,b>0).因为双曲线过点A(-5,2),所以-=1,又c2=a2+b2=36,所以a2=20,b2=16,因此,所求双曲线的标准方程为-=1. (3)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为双曲线经过点A(-7,-6),B(,-3),所以解得所以所求双曲线的标准方程为x2-=1. 变式 解:(1)根据题意可知,a2=16,b2=c2-a2=20, 又焦点在x轴上,∴双曲线的标准方程为-=1. (2)依题意,设双曲线的方程为Ax2-By2=1(AB>0), ∵双曲线经过点P(-3,2)和Q(-6,-7), ∴解得 故双曲线的标准方程为-=1. 例3 解:因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以点P在以A,B为焦点的双曲线的靠近A的那一支上.在A,B,C所在平面上,以线段AB的中点为坐标原点,AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2),由a=2,c=3得b2=9-4=5,所以点P所在双曲线右支的方程为-=1(x≥2)①,易知线段BC的垂直平分线的方程为x-y+7=0②.由①②得x=8,y=5,所以P(8,5),kPA=,所以点P在点A的北偏东30°方向上,即在A处发现P的方位角为30°. 变式 B [解析] 设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则|PB|-|PA|=340×1=340<600,所以P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的左支.因为2a=340,所以a=170,又|AB|=600=2c,所以c=300,所以b2=c2-a2=90 000-28 900=61 100,故炮弹爆炸点的轨迹方程为-=1(x<0).故选B.§2 双曲线 2.1 双曲线及其标准方程 1.C [解析] 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,则由题意可知c=3,2a=4,即a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,所以双 ... ...
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