第二章 3.1 抛物线及其标准方程（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 【课前预习】 知识点一 焦点　准线 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√ 知识点二 y2=2px 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√ 【课中探究】 例1　(1)AD　(2)C　(3)D　[解析] (1)若定点不在定直线上,则由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线;若定点在定直线上,则点M的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线.故选AD. (2)方法一:因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,得p=,所以抛物线的准线方程为y=-.由抛物线的定义知,|AF|等于点A到准线的距离,即|AF|=2+=. 方法二:因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,得p=,所以F,所以|AF|2=()2+=2+=,则|AF|=,故选C. (3)由5=|3x+4y-7|,得=,即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等,又易知点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上,所以由抛物线的定义知,动点P的轨迹为抛物线.故选D. 变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)由题意可得,动圆的圆心到直线y=-4的距离与到点F(0,4)的距离相等,所以动圆的圆心是以点F(0,4)为焦点,直线y=-4为准线的抛物线, 故选A. (2)根据题意可得,抛物线焦点到准线的距离p=2,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线l的方程为x=-1.设准线l与x轴的交点为E,由题知MN⊥l,由抛物线的定义可知|MN|=|MF|,因为|NF|=|MN|,所以△MNF是正三角形.因为MN∥EF,所以∠EFN=∠MNF=60°,所以在Rt△NEF中,|MF|=|NF|=2|EF|=2p=4.故选D. 拓展　(1)C　(2)D　[解析] (1)设l与x轴的交点为H,由原点O为线段FH的中点知,点A为线段MF的中点,因为|MA|=3|AB|=3,所以|MF|=6,|BF|=2,|BM|=4.过点B作BQ⊥l,垂足为Q,则由抛物线的定义可知|BQ|=|BF|=2,所以|BM|=2|BQ|,则|MF|=2|FH|=6,所以p=|FH|=3.故选C. (2)设抛物线的焦点为F,则F(1,0).设点P到直线l的距离为d,连接PF,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1. 例2　y2=4x或x2=-y　[解析] 当抛物线的焦点在x轴上时,设方程为y2=mx(m≠0),则有(-2)2=m·1,解得m=4,所以抛物线的方程为y2=4x;当抛物线的焦点在y轴上时,设方程为x2=ny(n≠0),则有12=n·(-2),解得n=-,所以抛物线的方程为x2=-y.所以过点(1,-2)的抛物线的标准方程是y2=4x或x2=-y. 变式　(1)B　(2)y2=20x或x2=8y　[解析] (1)由题得抛物线的准线方程为x=-(p>0),点M到准线的距离等于它到焦点的距离,则3+=4,所以p=2,故抛物线的标准方程为y2=4x,故选B. (2)直线2x+5y-10=0与坐标轴的交点为(5,0)和(0,2),所以抛物线的焦点为(5,0)或(0,2).当焦点为(5,0)时,抛物线的标准方程为y2=20x;当焦点为(0,2)时,抛物线的标准方程为x2=8y.故所求抛物线的标准方程为y2=20x或x2=8y.§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 1.D　[解析] 抛物线x2=-8y的准线方程是y=2.故选D. 2.C　[解析] 抛物线y=4x2的标准方程为x2=y,则其焦点坐标为.故选C. 3.A　[解析] 根据题意可得抛物线y2=mx的焦点坐标为,抛物线y=2x2的标准方程为x2=y,可得其焦点坐标为,易知点绕原点顺时针旋转90°之后得到点,即可得=-,解得m=-.故选A. 4.D　[解析] 由于动圆M经过定点P(4,-1),且与y轴相切,所以圆心M到定点P(4,-1)的距离等于圆心M到y轴的距离,根据抛物线的定义可知,圆心M的轨迹为抛物线.故选D. 5.B　[解析] 抛物线C:x2=-4y的准线方程为y=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义得|AF|=1-y1,|BF|=1-y2,由|AF|+|BF|=10,得1-y1+1-y2=10,解得y1+y2=-8,因此线段AB中点的纵坐标为=-4,所以线段AB的中点到x轴的距离为4.故选B. 6.C　[解析] 作PB⊥x轴,PC⊥准线,垂足分别为B,C,令|PF|=a,|PA|=2a,a>0,由抛物线定义可知|PF|=|PC|,所以|AC|=|PB|=a,所以sin∠PFA=sin∠PFB==.故选C. 7.AC　[解析] 由题可知点F的坐标为(2,0),抛物线的准线 ... ...