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课件网) 3 抛物线 3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质（一） ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 备课素材 ◆ 备用习题 【学习目标】 1.了解抛物线的简单几何特征. 2.了解抛物线标准方程中 的几何意义. 知识点 抛物线的几何性质 标准方程 图象 _____ _____ _____ _____ 焦点坐标 准线方程 标准方程 开口方向 _____ _____ _____ _____ 范围 对称性 关于_____对称 关于_____对称 顶点坐标 _____ 离心率 _____ 向右 向左 向上 向下 轴 轴 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线关于原点对称.( ) × （2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) √ （3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) √ 2.（1）从形状上看,抛物线有点像双曲线的一支,它们有区别吗 解：有区别.抛物线与双曲线的曲线延伸趋势不同. 例如当抛物线 上的点趋于无穷远时,它在这一点的切线的斜率接 近于0,也就是说在无穷远处抛物线与 轴接近于平行; 而当双曲线上的点趋于无穷远时,它的一条切线的斜率接近于它的一条渐近线的 斜率.双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线. （2）如何把握抛物线的简单几何性质？ 解： 确定抛物线的几何性质， 一要定性，确定抛物线的开口方向，从而可得到方程的形式； 二要定量，确定焦点到准线的距离，进而得到抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程等. 探究点一 抛物线的简单几何性质 例1（1） 一个正三角形的两个顶点在抛物线 上（除原点外）， 另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为，那么 _____. [解析] 由题意可知,该正三角形在抛物线上（除原点外）的两个顶点关于 轴对称， 则由正三角形的性质可设这两个顶点的坐标分别为 ,, 则正三角形的边长为. 把点 的坐标代入抛物线方程可得， 解得.由题可知，解得 ，所以 ． （2）求下列抛物线的顶点坐标、对称轴、焦点坐标和准线方程. ；；； . 解：设抛物线的焦点到准线的距离为 . ①抛物线的焦点在轴正半轴上，，则该抛物线的顶点坐标为 ， 对称轴为轴，焦点坐标为,，准线方程为 . ②抛物线的焦点在轴正半轴上, ,则该抛物线的顶点坐标为， 对称轴为轴，焦点坐标为，准线方程为 . ③抛物线，即，其焦点在轴负半轴上， ， 则该抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴，焦点坐标为， 准线方程为 . ④抛物线，即，其焦点在轴负半轴上， ， 则该抛物线的顶点坐标为，对称轴为轴，焦点坐标为， 准线方程为 . 变式 在同一直角坐标系中，方程与 表 示的曲线大致是( ) A A. B. C. D. [解析] 可变形为， 此方程表示焦点在 轴上的抛物线，排除D. 当时， 表示开口向左的抛物线， 此时表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除B. 当 时，表示开口向右的抛物线，此时 表示双曲线， 排除C，A符合条件. 故选A. ［素养小结］ 确定抛物线的简单几何性质要把握三个要点： （1）开口：由抛物线的标准方程看曲线的开口方向，关键是看准一次项是 还 是 ，一次项的系数是正还是负. （2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. （3）定值：焦点到准线的距离为 ；过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径） 长为 ；离心率恒等于1. 探究点二 抛物线的简单几何性质的应用 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点关于准线的对称点为 ； 解：由题意可设抛物线的标准方程为， 则抛物线的焦点 的坐标为，准线方程为 . 因为焦点关于准线的对称点为 ， 所以，解得 ， 所以所求抛物线的标准方程为 . （2）关于轴对称，与直线 相交所得线段的长为12； 解：由题意可设抛物线的标准方程为 ， 因为直线 与抛物线相交所得线段的长为12， 所以点在抛物线上，由，解得 ， 所 ... ...
