§4 直线与圆锥曲线的位置关系 4.1 直线与圆锥曲线的交点 【课前预习】 知识点一 2 Δ>0 1 Δ=0 0 Δ<0 诊断分析 (1)× (2)√ (3)√ 知识点二 (1)平行 相交于一点 (2)相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 诊断分析 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 知识点三 (1)相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 (2)一个 平行或重合 诊断分析 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× 【课中探究】 例1 (1)②③ [解析] ①中,由整理得13x2-18x+9=0,Δ1=(-18)2-4×13×9≠0,不满足题意;②中,由整理得5x2-2x+1=0,Δ2=(-2)2-4×5×1=0,满足题意;③中,由 整理得5x2-8x+16=0,Δ3=(-8)2-4×5×16=0,满足题意.故填②③. (2)解:联立直线与椭圆的方程,得消去y,整理得5x2+8mx+4m2-4=0,则Δ=(8m)2-4×5×(4m2-4)=16(5-m2).当-0,直线与椭圆相交;当m=-或m=时,Δ=0,直线与椭圆相切;当m<-或m>时,Δ<0,直线与椭圆相离. 变式 (1)C (2)[1,5) [解析] (1)联立直线与椭圆的方程,得消去y,整理得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题知Δ=0,∴k2=,∴k=±. (2)显然直线y=kx+1过定点A(0,1).由题意知,点A在椭圆+=1上或其内部,∴m>0,m≠5,+≤1,∴m≠5,且m≥1.又椭圆的焦点在x轴上,∴m<5,故m的取值范围为[1,5). 例2 解:联立直线与双曲线的方程,得消去y,整理得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*).当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). (1)由得-,此时方程(*)无实数解,即直线l与双曲线无公共点. 变式 D [解析] 依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,由消去y并整理,得(1-k2)x2-2kx-3=0.当1-k2=0,即k=±1时,方程(1-k2)x2-2kx-3=0只有一个解x=-,此时直线l与双曲线只有一个公共点,这样的直线l有2条;当1-k2≠0时,由Δ=4k2-12(k2-1)=0,解得k=±,此时方程(1-k2)x2-2kx-3=0有两个相等的实根x=,直线l与双曲线只有一个公共点,这样的直线l有2条.综上,满足题意的直线有4条,故选D. 例3 (1)ABC [解析] 当过点P(0,1)的直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+1,由方程组消去y得k2x2+(2k-2)x+1=0.若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个交点,直线l的方程为y=1;若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个交点,直线l的方程为y=x+1,即x-2y+2=0.当过点P(0,1)的直线l的斜率不存在时,其方程为x=0,此时直线l与抛物线相切,只有一个交点.综上,直线l的方程为y=1或x-2y+2=0或x=0.故选ABC. (2)解:由消去y,整理得k2x2+(2k-4)x+1=0(*).当k=0时,(*)式为-4x+1=0,解得x=,∴y=1,∴直线l与抛物线C只有一个公共点,此时直线l平行于x轴.当k≠0时,(*)式是一个一元二次方程,Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①当Δ>0,即k<1且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点,此时直线l与抛物线C相交; ②当Δ=0,即k=1时,直线l与抛物线C有一个公共点,此时直线l与抛物线C相切; ③当Δ<0,即k>1时,直线l与抛物线C没有公共点,此时直线l与抛物线C相离. 综上所述,当k=1或k=0时,直线l与抛物线C有一个公共点;当k<1且k≠0时,直线l与抛物线C有两个公共点;当k>1时,直线l与抛物线C没有公共点. 变式 (1)0或-1或- (2)0 [解析] (1)当a=0时,曲线y2=ax为直线y=0,显然直线y=x-1与直线y=0有唯一公共点(1,0),因此a=0满足题意.当a≠0时,由消去y并整理得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0(*),当a=-1时,x=-1,y=-1,直 ... ...
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