第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 【课前预习】 知识点 (2)　|x1-x2| ·|y1-y2| 诊断分析 (1)√　(2)√ 【课中探究】 例1　(1)8　[解析] 由双曲线x2-y2=4,得a=b=2,c==2,则F(2,0),设直线AB的倾斜角为θ,则θ=30°. 方法一:直线AB的斜率k=tan 30°=,则直线AB的方程为x=y+2,由消去x得y2+2y+2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知又|AB|=|y1-y2|= 2,所以|AB|=2=8. 方法二(利用双曲线的二级结论):|AB|===8. (2)解:①椭圆C:+y2=1中,a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,即F1(-1,0),所以直线l的方程为y=x+1. 由得3x2+4x=0,得x1=0,x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=×=. (2)由x1=0,得y1=1,由x2=-,得y2=-,不妨设A(0,1),B,则△ABF2的面积S=×|F1F2|×|y1-y2|=×2×=. 变式　(1)y=±x　[解析] 由题知抛物线C1:y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,因为直线x=-2经过双曲线C2的一个焦点,所以双曲线的左焦点为(-2,0).设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0,b>0),因为双曲线C2的半焦距c=2,抛物线的准线被双曲线C2所截得的弦长为6,所以将x=-c代入-=1,结合a2+b2=c2得y=±,即=6 =3 b2=3a,结合a2+b2=c2=4得a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4(舍去),所以b=,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±x. (2)解:①∵椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),∴b=1,又离心率e===,∴a2=2, ∴椭圆的方程为+y2=1. ②∵F1(-1,0),F2(1,0),∴直线BF1的方程为y=-2x-2.由消去y,得9x2+16x+6=0,∴Δ=162-4×9×6=40>0,∴直线与椭圆有两个交点.设C(x1,y1),D(x2,y2),则∴|CD|=|x1-x2|=·=×=,又点F2到直线BF1的距离d==,故=|CD|·d=. 例2　B　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),由整理得3x2+4mx+2m2-2=0,由Δ=16m2-12(2m2-2)>0,得m2<3,因为x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=·=×=×=,解得m=±1,满足Δ>0.故选B. 变式　C　[解析] 由题意可知直线l的方程为y=2(p>0),由消去y,整理得4x2-5px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+p==9,解得p=4.故选C. 拓展　±　[解析] 由已知得F(1,0),设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,x1x2=1,所以|AB|=|x1-x2|=·=.又点O到直线AB的距离d=,所以S△AOB=|AB|d=··=2,解得k=±. 例3　解:由02+<1,得点(0,1)在椭圆内,若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+1(k∈R),与椭圆方程联立,整理得(2+k2)x2+2kx-1=0,所以xA+xB=-,xAxB=-,则|AB|=×=2·=2×∈[,2).若直线AB的斜率不存在,则|AB|即为长轴长,即为2.综上,|AB|的取值范围为[,2]. 变式　解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由得x2-8mx-4m2-20=0,则x1+x2=8m,x1·x2=-4m2-20,所以|PQ|=·=·=4.当m=0时,|PQ|取得最小值4,此时直线的方程为y=x.设F1(-3,0),F2(3,0)到直线y=x的距离分别为d1,d2,则d1==,d2==,所以四边形F1PF2Q的面积为+=|PQ|·(d1+d2)=×4×=12. 拓展　　[解析] 显然直线l不垂直于y轴,故设其方程为x=my+2,由消去x并整理得(m2+2)y2+4my+2=0,由Δ>0得m2>2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以|y1-y2|==.S=|OP||y1-y2|=|y1-y2|===≤ =,当且仅当=,即m=±时取“=”,所以△AOB的面积S的最大值为. 例4　(1)A　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为,所以=-2,=1,即x1+x2=-4,y1+y2=2.将A,B的坐标代入椭圆的方程,得两式作差可得+=0,所以=-×=,所以直线AB的方程为y-1=(x+2),即x-2y+4=0.故选A. (2)解:设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由题意可得a2+b2=7,设M(x1,y1),N(x2,y2),由直线y=x-1与双曲线相交于M,N两点,线段MN的中点的横坐标为-,得线段MN的中点为,则x1+x2=-,y1+y2=-.由-=1且-=1,两式相减得=,则=,即=,所以a2=b2,与a2+b2=7联立,解得a2=2,b2=5,故双曲线的方程为-=1. 变式　　[解析] 设直线x+y-1=0与椭圆+=1的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则M,可得kAB==-1,kOM==.因为A,B在椭圆上,所以两式相 ... ...