第二章 本章总结提升（课件 学案）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)B　(2)(2,±3)　[解析] (1)由椭圆的方程+=1,知a=3,b=2,c=,∵|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴|PF1|2+|PF2|2=20=|F1F2|2,因此△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=4.故选B. (2)由题意知a=1,b=,c==2,则F1(-2,0),F2(2,0),因为3|PF1|=5|PF2|,所以点P在双曲线的右支上. 方法一:设P(x,y)(x>1),则3=5,与x2-=1联立,消去y得16x2-34x+4=0,即(16x-2)(x-2)=0,解得x=2或x=(舍去),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以点P的坐标为(2,±3). 方法二(利用双曲线的二级结论):双曲线的离心率e=2,设P(x0,y0)(x0>1),由焦半径公式得|PF1|=|ex0+a|=|2x0+1|,|PF2|=|ex0-a|=|2x0-1|,因为3|PF1|=5|PF2|,所以3|2x0+1|=5|2x0-1|,解得x0=2或x0=(舍去),将x0=2代入-=1,可得y0=±3,所以点P的坐标为(2,±3). 变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题意得圆心N(0,-1)是椭圆的下焦点,EF是圆N的直径,则·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=||2-1.椭圆方程+=1中,a=4,b=,则c==1,则椭圆上的点P到点N的距离的最大值为a+c=5,最小值为a-c=3,所以||2-1的最大值为24,最小值为8.所以·的取值范围是[8,24].故选B. (2)如图,设圆M与圆C1,圆C2的切点分别为B,A,由题意得|MB|=|MA|,圆C1: (x+4)2+y2=2与圆C2:(x-4)2+y2=2的半径相等,均为,即|BC1|=|AC2|=,所以|MC1|-|MC2|=|MB|+|BC1|-(|MA|-|AC2|)=|MB|+|BC1|-|MA|+|AC2|=|BC1|+|AC2|=2<|C1C2|=8,故点M的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的右支,其中2a=2,2c=8,故a=,c=4,则b2=c2-a2=16-2=14,所以动圆圆心M的轨迹方程为-=1(x≥).故选A. 题型二 例2　(1)D　(2)A　[解析] (1)抛物线的焦点为,由椭圆方程可知a2=3p,b2=p,所以c2=2p,所以椭圆的焦点为(±,0),由题意可得=,可得p=8. (2)如图所示,设双曲线的实轴长为2a,M(x0,y0),F(c,0),则-=1,a=2,所以双曲线的离心率e=,|MF|====|ex0-a|,又M在第一象限,即x0>a,故|MF|=ex0-a.过M作MD⊥x轴于D,因为∠MPF=30°,|PF|=|FM|,所以∠MFD=60°,由条件得|PF|=a+c=|MF|=2|FD|,所以D,即x0=,故|MF|=x0·-a=·-a=a+c 3c2-ac-4a2=0 3e2-e-4=0,解得e=(负值舍去).故选A. 例3　(1)A　(2)　(3)-1　2　[解析] (1)由题可得e2=,又e2=e1,所以e1=,即=,解得a2=,所以a=.故选A. (2)设P(x0,y0),椭圆C的方程为+=1(a>b>0),其半焦距为c,则+=1,F1(-c,0),F2(c,0),所以|PF1|==|a+ex0|,同理得|PF2|=|a-ex0|,所以===-1+,且-a≤x0≤a,得∈. (3)由正六边形的性质知,双曲线N的一条渐近线的方程为y=x,即=,所以双曲线N的离心率为=2.设椭圆M的离心率为e,焦距为2c,由得x2=,由题知=,整理得4a4-8a2c2+c4=0,即e4-8e2+4=0,解得e2=4±2,又e∈(0,1),所以e=-1. 变式　(1)C　(2)5　4　(3)　[解析] (1)因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,由题意得>2,所以双曲线的离心率e==>=.故选C. (2)设点M的坐标为(x0,y0).由题意知抛物线C的准线方程为x=-1,∵|FM|=6,∴x0+1=6,解得x0=5,∴|y0|=2,N(5,0),∴△MNF的面积为×(5-1)×2=4. (3)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为E,连接AE,BE,如图,由题意可知,原点O为线段AB,EF的中点,且AF⊥BF,则四边形AEBF为矩形,所以|OA|=|OE|.又因为AE∥BF,所以∠AEF=∠BAE=∠ABF=α,因为∠EAF=,所以|AF|=|EF|sin α=2csin α,|AE|=2ccos α.因为α∈,所以≤α+<,所以≤sin≤1.由椭圆的定义可得|AE|+|AF|=2c(sin α+cos α)=2a,所以椭圆的离心率e===∈. 题型三 例4　(1)D　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点为M,可得kAB=,点M与原点O连线的斜率k==.因为点A,B在双曲线上,所以两式相减得(-)-=0,所以kAB·k==9.对于选项A, 可得k=1,kAB=9,则直线AB:y=9x-8,由消去y得72x2-2×72x+73=0,Δ1=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直线AB与双曲线没有交点,不符合题意,故A错误;对 ... ...