第三章 3.1 空间向量基本定理（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1　空间向量基本定理 【课前预习】 知识点 2.不共面　唯一　p=xa+yb+zc　基　基向量　不共面 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ 【课中探究】 例1　(1)C　(2)C 变式　ACD　[解析] 对于A,由空间向量基本定理可知,只有当i,j,k不共面时,i,j,k才能构成空间的一组基,才能得到m=xi+yj+zk,故A中说法错误;对于B,若i,j,k能构成空间的一组基,则i,j,k不共面,设i-3j=λ(j+k)+μ(k-2i)=λj-2μi+(λ+μ)k,则易知该方程组无解,所以i-3j,j+k,k-2i也不共面,所以i-3j,j+k,k-2i也能构成空间的一组基,故B中说法正确;对于C,若i⊥j,k⊥j,则i,k不一定平行,故C中说法错误;对于D,若i,j,k所在直线两两共面,则i,j,k不一定共面,故D中说法错误.故选ACD. 例2　解:(1)∵P是C1D1的中点,∴=++=a++=a+c+=a+c+b. (2)∵N是BC的中点,∴=++=-a+b+=-a+b+c. (3)∵M是AA1的中点,∴=+=+=-a+=a+b+c,又=+=+=c+a,∴+=+=a+b+c. 变式　(1)A　[解析] 连接EC,ED,则=+=+=+×(+)=+(-+-)=++=×++=a+b+c.故选A. (2)解:①由题意知=(+)=(-+)=(c-a+b)=-a+b+c. ②如图,连接AC,与BD交于点O,连接PO,则平面PAC∩平面PBD=PO, 因为AM交平面PBD于点N,AM 平面PAC,所以PO∩AM=N. 因为底面ABCD是正方形,所以O为AC的中点,所以=+=+.因为A,N,M三点共线,所以设=λ(λ∈(0,1)),所以-=λ(-),所以=λ+(1-λ).因为P,N,O三点共线,所以设=μ(μ∈(0,1)),所以=μ+μ(μ∈(0,1)),所以μ+μ=λ+(1-λ).因为,不共线,所以解得μ=λ=,所以==(+)==a+b+c. 例3　证明:如图,连接EF,FB,A1B.∵=-=-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥.又与有公共点F,∴E,F,B三点共线. 变式　A　[解析] 由题意知=(+),=.因为G,M,N三点共线,所以存在实数λ使得=λ+(1-λ)=(+)+=++,又=++,所以解得故选A. 例4　(1)B　(2)B　[解析] (1)对于A选项,1+2-3=0≠1,故A不符合题意;对于B选项,++=1,故B符合题意;对于C选项,2-2-1=-1≠1,故C不符合题意;对于D选项,+-1=0≠1,故D不符合题意.故选B. (2)设=a,=b,=c,则=++=a+b+c,可得=+=-a+m=(m-1)a+mb+c,由题意知=+=b-a,=+=c-a.因为B,D,A1,F四点共面,所以存在实数x,y,使=x+y,所以(m-1)a+mb+c=x(b-a)+y(c-a)=(-x-y)a+xb+yc,所以解得故选B. 变式　证明:连接BD,EF,FG,GH,EH,EG,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD∥FG,且EH=FG=BD,则==,所以=+=+,即,,共面,又它们有公共点E,所以E,F,G,H四点共面.§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1　空间向量基本定理 1.C　[解析] 对于选项A,(a+b)-(b-a)=2a,三个向量共面,故不能构成空间向量的一组基;对于选项B,(a+b)+(b-a)=2b,三个向量共面,故不能构成空间向量的一组基;对于选项C,假设a+b,b-a,c三个向量共面,则存在x,y∈R,使得c=x(a+b)+y(b-a)=(x-y)a+(x+y)b,则向量a,b,c共面,与题意矛盾,假设不成立,故a+b,b-a,c三个向量不共面,因此可以构成空间向量的一组基;对于选项D,a+b+c=(a+b)+c,三个向量共面,故不能构成空间向量的一组基.故选C. 2.B　[解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,连接BD,依题意,=,=+=+=+(-)=+(+)=-+,而=x+y+z,且,,不共面,所以x=,y=-,z=,所以x+y+z=.故选B. 3.D　[解析] 对于平面ABC外的任意一点O,点M,A,B,C共面的充要条件是=x+y+z,且x+y+z=1.对于A,由=++,得x+y+z=1+1+1=3≠1,所以点M,A,B,C不共面,A不符合题意;对于B,由=2--,得x+y+z=2+(-1)+(-1)=0≠1,所以点M,A,B,C不共面,B不符合题意;对于C,由=++,得x+y+z=1++≠1,所以点M,A,B,C不共面,C不符合题意;对于D,由=++,得x+y+z=++=1,所以点M,A,B,C共面,D符合题意.故选D. 4.B　[解析] 因为=-,所以由=m++,可得-=m++,即=m+2+,因为A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,O为该平面外一点,所以m+2+1=1,解得m=-2.故选B. 5.A　[解析] 连接ON,依题 ... ...