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课件网) §4 向量在立体几何中的应用 4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系（一） ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 ◆ 备课素材 ◆ 备用习题 【学习目标】 1.能用向量方法解决异面直线的夹角、直线与平面的夹角问题. 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用. 知识点一 两条直线的夹角 1.当两条直线与 相交时，我们把两条直线交角中范围在_____内的角叫作两 条直线的夹角. 当两条直线平行时，规定它们的夹角为___； 当两条直线与是异面直线时，在空间任取一点，过点作直线和 ，使得 ，，把，的夹角叫作异面直线与 的夹角. 0 2.若向量,分别为直线,的方向向量，则直线与的夹角 _____，且 _____. 知识点二 直线与平面的夹角 1.平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的_____就是这条直线与这个平面 的夹角； 当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面的夹 角为___； 当一条直线与一个平面垂直时，规定这条直线与这个平面的夹角为__. 锐角 0 2.直线与平面的夹角和直线与平面的垂线的夹角_____； 设向量为直线的一个方向向量，是平面 的一个法向量，则直线与平面 的夹角 _____，且_____ . 互余 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）异面直线的夹角与其方向向量的夹角相等.( ) × （2）直线与平面的夹角等于直线与平面的垂线的夹角.( ) × （3）直线与平面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦 值.( ) × 探究点一 两条直线的夹角 例1（1） 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是 的中 点，则异面直线, 夹角的余弦值为_ __. [解析] 记底面的中心为 ，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正四棱锥的棱长为2，则， ， ， ，， ， 异面直线， 夹角的余弦值为 . （2）在正三棱柱中，若，则异面直线与 夹 角的大小为____. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设 ， 则，，， . 可得 ， ， ， 即异面直线与夹角的大小为 . （3）在三棱柱中，为等边三角形， 平面 ， ，，分别是，的中点，则直线与 的夹角的余弦值 为( ) C A. B. C. D. [解析] 如图所示，取的中点D，以D为原点， 以 ，，所在直线分别为轴、轴、 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设， 则， ，，， 所以 ， ， 所以 ，故选C. 变式 在正方体中，动点在体对角线 上，记 . （1）求证： ； 证明：如图，连接， . 由已知可得， 平面， 平面 ， 所以，又四边形是正方形，所以 ， 又 平面， 平面， ， 所以 平面 ， 又动点在体对角线上，所以 平面，所以 平面 ， 所以 . （2）若异面直线与的夹角为，求 的值. 解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，， 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，， ， 则，， . 由 ，可得，设点，则 ， 所以所以即 ， 所以 ， . 又异面直线与的夹角为，所以, ， 即 ， 整理可得， 因为，所以，即点位于点 处时，满足条件. ［素养小结］ 若与分别为,的方向向量，用向量法求异面直线的夹角 时，空间两条 直线的夹角 与两个方向向量的夹角相等或互补，则, . 探究点二 直线与平面的夹角 例2（1） 如图所示，在四棱锥中， 底面 ，四边形 为正方形，且，为的重心，则与底面 夹角 的余弦值为_ ____. [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， 所以， 因为平面 的一个法向量为， 所以， 即与平面 的一个法向量夹角的余弦值为， 所以 与底面夹角的余弦值为 . （2）[2024·河南洛阳高二期末] 如图，在正三棱柱 中， ，，为侧棱上的点，且，点，分别为， 的中点. ①求异面直线与 夹角的余弦值； 解：取的中点，连接， ， 由正三棱柱的性质可知 平面， 又 ，所以 平面 ... ...
