第3课时 空间中的距离问题 【学习目标】 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题. 2.体会向量方法在研究几何问题中的作用. ◆ 知识点一 点到平面的距离 1.点到平面的距离 点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d= . 2.直线到平面的距离和平面到平面的距离 (1)若一条直线平行一个平面,则该直线到这个平面的距离等于该直线上 到这个平面的距离. (2)若两个平面平行,则这两个平面间的距离等于其中一个平面上 到另一个平面的距离,即线面距和面面距均可转化为点面距. 3.用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤: (1)确定平面的一个法向量;(2)选择参考向量(已知点与平面内任意一点连线所得向量);(3)确定参考向量在法向量方向上的投影向量;(4)求投影向量的长度. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面α内一点B所成向量的长度. ( ) (2)若直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离. ( ) (3)若平面α∥平面β,则两平面α,β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离. ( ) ◆ 知识点二 点到直线的距离 若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为d=. 【诊断分析】 1.如何求两条相互平行的直线之间的距离 2.与已知直线的距离等于1的点的轨迹是什么图形 ◆ 探究点一 点到平面的距离 例1 如图所示,在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,求点B到平面CMN的距离. 变式 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为BB1的中点,AB=CC1=2BC=2. (1)求异面直线AE与CC1的夹角的余弦值; (2)求点C到平面AEC1的距离. [素养小结] 求点到平面的距离的主要方法: (1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法:d=(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段). ◆ 探究点二 直线到平面的距离、平面与平面的距离 例2 (1)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( ) A.a B.a C.a D.a (2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱A1B1的中点,F为棱AB的中点,求直线FC到平面AEC1的距离. [素养小结] (1)求线面(线与面平行)距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. (2)求两个平行平面的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可. ◆ 探究点三 点到直线的距离 例3 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为 . 变式 [2024·山西朔州高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2BC=6,PC⊥PD,PC=PD,点O是CD的中点,求棱PB上的动点E到直线AO的距离的最小值. [素养小结] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤: (1)建立空间直角坐标系; (2)求直线的方向向量; (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量的长度,及该向量在直线方向向量方向上的投影数量; (4)利用勾股定理求距离. 另外,要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.第3课时 空间中的距离问题 一、选择题 1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 ( ) A. B. C. D.3 2.已知A(0,0,1),B(3,0,0),C(0,2,0),则原点O到平面ABC的距离是 ( ) A. B. ... ...
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