1.3.2等比数列与指数函数 导学案（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

1.3.2　等比数列与指数函数 【学习目标】 1.通过函数的引入提高学生运用等比数列解决问题的能力.(逻辑推理) 2.理解等比数列与指数函数之间的联系.(数学建模) 3.会用指数函数的知识解决等比数列的单调性问题.(数学运算) 4.熟练掌握等比数列的判定方法.(逻辑推理) 【自主预习】 1.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递增数列 当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递减数列 2.如果数列{an}是各项都为正数的等比数列，那么数列{lg an}也是等比数列吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an+bn}是等比数列. (　　) (2)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列. (　　) 2.(多选题)已知等比数列{an}满足a1=1，q=2，则下列说法正确的是(　　). A.an=2n-1 B.{a2n}是等比数列 C.a1+a5=a2+a4 D.{an}是递增数列 3.在公比为q的等比数列{an}中依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列(　　). A.是公比为q的等比数列 B.是公比为q2的等比数列 C.是公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列 4.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【合作探究】 探究1　等比数列与指数函数的关系 问题：观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关 1.等比数列{an}的图象 由指数函数y=qx的图象可以得出y=cqxc=，c为常数的图象，而y=cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成了等比数列{an}的图象. 值得指出的是，当等比数列的公比q=1时，等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点. 2.等比数列的单调性 当q>1时， 若a1>0，则等比数列{an}是递增数列； 若a1<0，则等比数列{an}是递减数列. 当q=1时，等比数列{an}是非零的常数列. 当00，则等比数列{an}是递减数列； 若a1<0，则等比数列{an}是递增数列. 当q<0时，等比数列{an}是摆动数列. 例1　(1)已知{an}是等比数列，且公比q>0，则“q>1”是“数列{an}为递增数列”的(　　). A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)若{an}为等比数列，则“a1