第一章 集合与常用逻辑用语 1．5 全称量词与存在量词 1．5．1 全称量词与存在量词 明确目标 发展素养 1.通过已知数学实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义． 2．掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判断. 1.借助全称量词命题与存在量词命题的真假性的判断，提升逻辑推理素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养. 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立 符号表示 x∈M，p(x) 2.存在量词与存在量词命题 存在量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 存在量词 命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立 符号表示 x∈M，p(x) [微思考] 全称量词命题与存在量词命题有什么区别？ 提示：（1）全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． （2）存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 [典例1] 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题： (1)所有不等式的解集A，都满足A R； (2) x∈R，y∈R，使(x＋y)(x－y)＞0； (3)存在x∈R,2x＋1是整数； (4)自然数的平方是正数； (5)所有四边形的内角和都是360°吗？ [解]———自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(4)是全称量词命题．(2)(3)中含有存在量词，所以(2)(3)是存在量词命题．(5)是疑问句，不是命题． [方法技巧] 判断全称量词命题与存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 【对点练清】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号“ ”或“ ”表示： (1)所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． 解：(1)全称量词命题， x∈R，x2＋x＋1＞0. (2)全称量词命题， a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解． (3)存在量词命题， x，y∈Z,3x－2y＝10. (4)全称量词命题， x∈Q，x2＋x＋1是有理数． 题型二 全称量词命题与存在量词命题真假的判断 [典例2] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假： (1) x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)对任意实数a，|a|＞0； (4)有一个角α，使sin α＝. [解] (1)是全称量词命题．因为 x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，所以该命题是假命题． (4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题． [方法技巧] 1．判断全称量词命题真假的思维过程 2．判断存在量词命题真假的思维过程 【对点练清】 1．(多选)下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是( ) A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点 B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b C．存在一个菱形不是平行四边形 D．存在一个实数x，使不等式x2－3x＋7＜0成立 解析：选CD 对于A，是全称量词命题，是假命题，故A错误；对于B，是全称量词命题，是真命题，故B错误；对于C，是存在量词命题，是假命题，故C正确；对于D，是存在量词命题，是假命题，故D正确．故选C、D. 2．判断下列命题的真假： ... ...
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