集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练 (原卷版+解析版)-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合新定义问题、容斥原理、集合含参问题专项训练 考点目录 集合新定义问题 容斥原理 集合含参问题 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·湖北随州·阶段练习）对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：① ；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高一上·北京·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 4．（24-25高一下·北京·阶段练习）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若，都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”． 其中，所有正确的命题的序号是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（24-25高一上·湖南衡阳·开学考试·多选）集合 ， 是实数集 的子集，定义且，若集合，，则以下说法正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习·多选）已知非空数集S满足：对任意给定的（x、y可以相同），有且．则下列选项正确的是（ ） A． B．若，且，则 C．S不可能是有限集 D．若S中最小的正数为5，则 7．（24-25高一上·浙江温州·期末·多选）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（ ） A．若，则具有性质 B．若，则具有性质 C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质 8．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习·多选）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（ ） A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17 C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9 9．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 10．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）集合是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则 ， ． 11．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 12．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 13．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 14．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件． 15．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． (1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合为闭集合，且 ， ，证明： ． 16．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． (1)若，写出 中与x正交的所有元素； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若，且A 中任意两个元素均正交， ... ...