空间向量与立体几何：空间向量法证明位置关系、角度问题、距离问题专项训练 考点目录 空间向量法证明空间关系 空间向量法求解空间角度 空间向量法求解空间距离 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（2025·甘肃白银·二模）已知两个不同的平面，一条直线，下列命题是假命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】设平面的法向量分别为，直线的方向向量为， 对于A：若，则或，错误； 对于B：若，则，所以，所以，正确； 对于C：由，可得，所以，所以，正确； 对于D：由，可得：，，所以，所以，正确， 故选：A 3．（2025·四川眉山·三模）设是两个平面，是两条直线，则下列命题不正确的是（ ） A．，，则 B．，直线，，则 C．，则 D．过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 【答案】D 【详解】设平面的法向量分别为，直线的方向向量为， 对于A：由，，可得：， 所以，所以，正确； 对于B：，可得， 由，可得， 所以，又，所以，正确； 对于C：由 可得：，且，且不共线， 所以，所以，正确； 对于D：不知和平面的位置关系，显然无法判断，错误； 故选：D 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 5．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知正方体，点分别在上，，下列说法错误的是（ ） A．直线与所成的角为 B． C．四点共面 D．平面 【答案】C 【详解】对于A：由正方体性质可知：为直线与所成的角， ，故直线与所成的角为，故A正确； 对于B：如图，设正方体的棱长为1， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因,则，则， 所以，而， 因为，所以，即，故B正确； 对于C：当时，点即点，点即点，此时满足，显然与为异面直线，故与为异面直线，即四点不共面，故C错误； 对于D：由正方体的性质知平面，所以为平面的一个法向量． 由选项B的证明可知：，又平面，所以平面，故D正确. 故选：C 6．（25-26高三上·浙江·阶段练习·多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（ ） A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 D．与平面所成的角为 【答案】ABC 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 对于A，，则，即. 又平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由，得，由， 得，，平面，则平面，B正确； 对于C，是平面的一个法向量，则点D到平面的距离，C正确， 对于D，与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：ABC 7．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）. A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】ABC 【详解】对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：，所以，B选项正确； 对于C：因为，，平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，C选项正确； 对于D：因为，所以，D选项错误； 故选：ABC. 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 【答案】/2.5 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 9．（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】由可得，即，解 ... ...
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