(
课件网) 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.4 正切函数的性质与图象 探究点一 正切函数及其复合函数的定义域、值域、最值问题 探究点二 正切（型）函数的图象及其应用 探究点三 正切（型）函数的单调性及其应用 探究点四 正切（型）函数性质的综合应用 【学习目标】 1.掌握正切函数的定义域、值域； 2.会利用正切函数的图象研究其单调性,并利用单调性解决相应问题； 3.掌握正切函数的周期性及奇偶性； 4.对比正弦型函数图象的变化方式，对正切型函数图象及性质进 行讨论. 知识点一 正切函数的性质与图象 函数 定义域 _____ 值域 周期性 周期为___ 奇偶性 ____函数 单调性 单调递增区间：_____，无单调递减 区间 零点 _____ 奇 图象 正切曲线： _____ 图象的 对称性 对称中心： ，无对称轴 续表 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数 在整个定义域上为增函数.( ) × 解：若，，则,但 . （2）函数的图象的对称中心是图象与 轴的交点.( ) × 解：函数的图象的对称中心为. 当 为奇数时，对称中心不是函数图象与轴的交点， 当 为偶数时，对称中心是函数图象与 轴的交点. （3）函数的定义域为 , }.( ) × 解：可看作由， 复合而成， 故要考虑到自身的定义域， 所以所求函数的定义域为 . （4）函数是周期函数，且 .( ) √ （5）正切函数既没有最大值也没有最小值.( ) √ 知识点二 正切型函数 的性质 函数 定义域 _____ 值域 ___ 周期性 周期为___(若直线 为常数)与函数 的图象的相邻两个交点为 和 ，则该函数的周期为 奇偶性 ①当 时,____函数; ②当 时，_____函数 奇 非奇非偶 续表 单调性 单调递增区间为_____，无单调 递减区间 零点 _____ 图象的 对称性 对称中心：_____ 续表 探究点一 正切函数及其复合函数的定义域、值域、最值问题 ［探索］ （1）若，则 _____. （2）函数 的定义域是_____. 例1（1） 若，则函数 的定义域为 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得解得 ， 所以函数的定义域为 .故选C. √ （2）[2024·江西九江高一期末]函数 ， 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] ,, , ，即函数的值域为 .故选C. √ 变式（1） 函数， 的值域为( ) A. B. C. D. [解析] 函数 ， 因为，所以， 所以函数 的值域为 .故选C. √ （2）求函数 的定义域. 解：根据题意得 ， 解得 ， 所以所求函数的定义域为， . ［素养小结］ （1）求与正切函数有关的函数的定义域和值域的方法及注意点： ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了保证函数有意义外， 还要保证正切函数有意义，即 ， ； ②求与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定 义域内求值域.求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元 法，但要注意新“元”的取值范围. （2）解与正切函数有关的不等式的两种方法： ①图象法：先画出相应的函数图象，再写出符合条件的自变量的集合； ②三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值的正切线，得到边界 角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域. 探究点二 正切（型）函数的图象及其应用 ［探索］ 要得到函数的图象，只需将函数 的图象如何变化？ 解：方法一：先将的图象向右平移 个单位，得到 的图象， 再将 的图象上的所有点的纵坐标不变， 横坐标变为原来的2倍，就可得到 的图象. 方法二：先将 图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为 原来的2倍，得到的图象， 再将的图象向右平移 个单位，就可得到 的 图象. 例2（1） 函数 在一个周期内的大致图象是( ) A. B. C. D. √ [解析] 方法一：由题意得函数的周期 ，故排除B，D； 当时， ，排除C.故选A. 方法二：令，由 , ， 得 ,，当时，，所以函数图象与 轴的 一 ... ...
