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课件网) 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 探究点一 向量数量积定义及其应用 探究点二 向量的夹角 探究点三 向量的投影与向量数量积的 几何意义 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义; 2.理解向量投影的数量的含义并会应用； 3.掌握数量积的定义公式,并会利用其解决有关长度、夹角、垂 直等问题. 知识点一 两个向量的夹角 1.定义：给定两个_____向量， （如图所示）,在平 面内任选一点，作,,则称 内的 为向量与向量的_____ ,记作， . 非零 夹角 2.向量的夹角，的取值范围是_____.当与 同向时, 夹角，为___;当与反向时,夹角，为___.且,, . 3.当，__时，称向量与向量 垂直,记作_____. ， 0 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）当两个非零向量共线时，两个向量的夹角为0.( ) × [解析] 当两个非零向量同向时，夹角为0，反向时，夹角为 . （2）零向量与任意向量垂直.( ) √ （3）在正三角形中，, .( ) × [解析] , . （4）, .( ) × [解析] 两个向量中存在零向量时，满足垂直，但是零向量的方向不 确定. 知识点二 向量的数量积的定义 1.定义：一般地，当与 都是非零向量时，称_____为向 量与的数量积（也称为内积）,记作_____,即_____ _____. 特别地,零向量与任一向量的数量积为___. ， 0 （1）当，时， ___0; （2）当，时， ___0； （3）当，时， ___0. 2.两个向量的夹角公式：求两个向量的夹角时可以利用数量积的变形 公式， _ ____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）向量,的数量积能表示为和，不能表示为 .( ) × [解析] 向量,的数量积只能表示为，不能表示为和 . （2）两个向量的数量积不同于两个向量的线性运算，结果是一个实 数而不是向量.( ) √ （3） .( ) √ （4）若,则向量,的夹角为钝角；若，则向量, 的夹角为锐角.( ) × [解析] 若,则向量,的夹角为钝角或 ； 若 ，则向量, 的夹角为锐角或0. 知识点三 数量积的性质 不等式 恒等式 向量垂直的充要条件 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）当时， .( ) √ （2）在中，如果，那么 为直角三角形. ( ) √ （3）无论向量与是否为零向量，若，则一定有 . ( ) √ （4）如果向量与是两个单位向量，那么 .( ) √ （5）若,，则 .( ) √ 知识点四 向量的投影与向量数量积的几何意义 1.投影定义：如图所示，设非零向量,过，分别作直线 的 垂线，垂足分别为，，则称向量为向量在直线 上的_____ ____或_____. 投影向量 投影 2.投影的数量定义:一般地，如果， 都是非零向量，则称 _____为向量在向量 上的投影的数量.投影的数量与投影 的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数. 特别地，当为单位向量时，因为 ，所以_____， 即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量 上的投 影的数量. , 3.数量积的几何意义：两个非零向量，的数量积，等于 在 _____与_____的乘积. 向量上的投影的数量 的模 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若,,与的夹角为 ,则向量在向量 上的投影 为 .( ) × [解析] 投影是向量，向量在向量上的投影为 . （2）已知,，在向量上的投影的数量是 ,则 .( ) × [解析] 向量与向量的数量积等于在向量上的投影的数量与 的积，所以 . （3）已知,为两个非零向量，则在上的投影一定与向量 同向. ( ) × [解析] 在上的投影与向量 的方向相同或相反. （4）已知，，且，则在 上的投影的数 量为，在上的投影的数量为 .( ) √ [解析] ，，所以向量在向量 上的投 影的数量为，； 向量在向量 上的投影的数量为， . （5）若,都是非零向量，则向量在上的投影的数 ... ...
