模块素养测评卷(二) 1.D [解析] 因为a⊥b,所以a·b=-1×3+2(m+1)=0,解得m=.故选D. 2.C [解析] 方法一:设a,b都是以坐标原点O为起点,终点在单位圆上的向量.设a,b的终点分别为M,N,则a-b=.若a,b的夹角为,则||=,即|a-b|=,充分性成立;若|a-b|=,即||=,则∠NOM=,此时a,b的夹角为,必要性成立.故“a,b的夹角为”是“|a-b|=”的充要条件,故选C. 方法二:因为a,b均为单位向量,a,b的夹角为,所以|a-b|2=a2+b2-2a·b=2-2×1×1×=3,则|a-b|=,即充分性成立;若|a-b|=,则|a-b|2=3,即a2+b2-2a·b=2-2×1×1×cos
=3,则cos=-,又∈[0,π],所以=,即必要性成立.故“a,b的夹角为”是“|a-b|=”的充要条件,故选C. 3.B [解析] 易知点(1,-2),(-1,2)在直线y=-2x上,由三角函数的定义知,cos α==或cos α==-.故选B. 4.B [解析] 因为sin C=2sin(B+C)cos B,即sin(A+B)=2sin Acos B,所以sin Acos B+cos Asin B=2sin Acos B,所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,所以A-B=0或A-B=π(舍去),则A=B,所以△ABC一定是等腰三角形.故选B. 5.D [解析] 由题易知,前轮共转动了圈,所以A,B两点之间的距离约为×2π×0.3=6.2π≈6.2×3.14≈19.47(m).故选D. 6.C [解析] 由题意知f(x)=2sin.因为存在x1,x2∈,使得f(x1)·f(x2)=-4,所以f(x)的图象在上至少有两个相邻的对称轴.令k∈N,则k∈N.当k=0时,不等式组无解;当k=1时,不等式组的解集为.因此ω的最小值为,故选C. 7.D [解析] 由已知得=λ,故·=λ=λ(-||+||)=0,所以AP⊥BC,所以动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心.故选D. 8.A [解析] ∵f(x)=2sin2=1-cos 2=1-cos=1+sin 2x,∴g(x)-f(x)=-(1+sin 2x)=-sin 2x+cos 2x+=-2sin+.∵-1≤sin≤1,∴-≤-2sin+≤,∴||=∈,∴||的最大值为.故选A. 9.AD [解析] 由题可得(1,)=,则=,又|b|=2,a与b的夹角为,所以=,故|a|=2.对于A,cos==,因为∈[0,π],所以=,故A正确;对于B,cos==,因为∈[0,π],所以=,故B错误;对于C,cos==1,因为∈[0,π],所以=0,故C错误;对于D,cos==,因为∈[0,π],所以=,故D正确.故选AD. 10.BCD [解析] 因为b2+c2=a2,所以A=90°,以A为坐标原点,AC,AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(0,8),C(6,0).当P在边AB上时,设P(0,y),y∈[0,8],则=(0,-y),=(0,8-y),=(6,-y),所以+=(6,8-2y),则·(+)=2y2-8y,易知当y=2时,·(+)取得最小值-8,当y=8时,·(+)取得最大值64,所以·(+)∈[-8,64].当P在边AC上时,设P(x,0),x∈[0,6],则=(-x,0),=(-x,8),=(6-x,0),所以+=(6-2x,8),则·(+)=2x2-6x,易知当x=时,·(+)取得最小值-,当x=6时,·(+)取得最大值36,所以·(+)∈.综上可得,·(+)∈[-8,64].故选BCD. 11.BD [解析] f(x)=-=-cos,ω>0.对于A,由题可得=,则T=π=,所以ω=1,故A错误;对于B,当ω=1时,f(x)=-cos,则f=-cos=-cos π=1,所以直线x=为f(x)的图象的一条对称轴,故B正确;对于C,当ω=1时,f(x)=-cos,将f(x)的图象向左平移个单位长度后可得y=-cos=cos的图象,函数y=cos为非奇非偶函数,其图象不关于原点对称,故C错误;对于D,由x∈[0,2π],可得≤2ωx+≤4ωπ+,因为f(x)在[0,2π]上恰有9个零,所以≤4ωπ+<,解得≤ω<,故D正确.故选BD. 12.-14 [解析] 延长CO,交圆O于点N,连接AN,BN,则CN=2CO,BN⊥BC,AN⊥AC,则·=·(-)=·-·=·-·=||·||cos∠BCN-||·||cos∠ACN=||2-||2=18-32=-14. 13.2 [解析] 方法一:设扇形的半径为r(r>0),则扇形的弧长l=a-2r,扇形的面积S=lr=(a-2r)r=-r2+r,所以当r=-=时,扇形的面积取得最大值,此时扇形的弧长l=a-2r=a-2×==2r,扇形圆心角的弧度数α==2. 方法二:设扇形的半径为r,弧长为l,r>0,l>0,则扇形的周长a=l+2r,所以扇形的面积S=lr=l·2r≤·=,当且仅当l=2r=时取 ... ... 